Тригонометрична Функция

Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

• отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
• координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

• решения на някои диференциални уравнения;
• безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

 

Разглежда се правоъгълен триъгълник ${\displaystyle ACB}$  в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно ${\displaystyle 0<\alpha ,\beta <90}$ ° или ${\displaystyle 0<\alpha ,\beta <{\frac {\pi }{2}}}$ .

Дефиниции

Синус на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}$ .

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл ${\displaystyle \alpha }$ , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  са подобни.

Косинус на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$ .

Тангенс на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}}$ .

Котангенс на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

${\displaystyle \operatorname {cotg} \,\alpha ={\frac {b}{a}}}$ .

Секанс на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}}$ .

Косеканс на ъгъл ${\displaystyle \alpha }$  е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {c}{a}}}$ .

Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл ${\displaystyle \theta }$  с абсцисната ос OE (фиг. 2).

 

От правоъгълния триъгълник OCA

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {CA}{OA}}={\frac {CA}{1}}=CA}$ ,

тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. От тук следва определението:

Синус на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

${\displaystyle \sin \theta ={CA}}$ .

 

По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:

Косинус на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

${\displaystyle \cos \theta ={OC}}$ .

Тангенс на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {CA}{OC}}\quad }$ , ${\displaystyle \quad \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$ .

Котангенс на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината:

${\displaystyle \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {OC}{CA}}\quad }$ , ${\displaystyle \quad \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$ .

Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.

Секанс на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

${\displaystyle \sec \theta =OE\quad }$ , ${\displaystyle \quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}$ .

Косеканс на даден ъгъл ${\displaystyle \theta }$ , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\theta =OF\quad }$ , ${\displaystyle \quad \operatorname {cosec} \,\theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}$ .

В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3):

 

• хорда – crd(θ) = 2 sin(θ2) ;
• версинус, версин или синус версус –
  

versin, vers или sin vers:

versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ2)

(появява се в най-ранните таблици);

• веркосинус или косинус версус –
  

vercos или cos vers:

vercos(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π2 − θ) ;

• хаверсинус – haversin или hav:
  

haversin(θ) = 12versin(θ) = sin²(θ2) ;

• хаверкосинус – havercos или hac:
  

havercos(θ) = 12vercos(θ) = cos²(θ2);

• екссеканс – exsec(θ) = sec(θ) − 1;
• екскосеканс – excsc(θ) = exsec(π2 − θ) = csc(θ) − 1.

 

Свойства на функцията синус

 

1. Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа: ${\displaystyle D(y)=\mathbb {R} }$ .
2. Множество на стойностите на функцията – областта
   [−1; 1]: ${\displaystyle E(y)=}$  [−1;1].
3. Функцията ${\displaystyle y=\sin \left(x\right)}$  е нечетна: ${\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,}$ .
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на ${\displaystyle 2\pi }$ : ${\displaystyle \sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)}$ .
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при ${\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,}$ .
6. Области с постоянен знак:
   ${\displaystyle y>0}$  при ${\displaystyle x\in \left(0+2\pi n\,;\,\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z}$  и
   ${\displaystyle y<0}$  при ${\displaystyle x\in \left(\pi +2\pi n\,;\,2\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z}$ .
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$ 
8. Функцията ${\displaystyle y=\sin x}$  е растяща при ${\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z}$ , и намаляваща при ${\displaystyle x\in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,;\,3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,\,n\in Z}$ .
9. Функцията има минимум при ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z}$  и максимум при ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z}$ .

Свойства на функцията косинус

 

1. Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: ${\displaystyle D(y)=\mathbb {R} }$ .
2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]:
   ${\displaystyle E(y)}$  = [−1;1].
3. Функцията ${\displaystyle y=\cos \left(x\right)}$  е четна: ${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,}$ .
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на ${\displaystyle 2\pi }$ : ${\displaystyle \cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)}$ .
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi \,,\,n\in Z\,}$ .
6. Области с постоянен знак:
   ${\displaystyle y>0}$  при ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z}$  и
   ${\displaystyle y<0}$  при ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z\,}$ .
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$ 
8. Функцията ${\displaystyle y=\cos x}$  е растяща при ${\displaystyle x\in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,\,n\in Z,}$  и е намаляваща при ${\displaystyle x\in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z\,}$ .
9. Функцията има минимум при ${\displaystyle x=\pi +2\pi n\,n\in Z}$  и максимум при ${\displaystyle x=2n\pi \,,\,n\in Z\,}$ .

Свойства на функцията тангенс

 

1. Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: ${\displaystyle D(y)=\mathbb {R} }$ , освен числата ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi }$ .
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} }$ .
3. Функцията ${\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(x\right)}$  е нечетна: ${\displaystyle \mathrm {tg} \left(-x\right)=-\mathrm {tg} \ x\,}$ .
4. Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на ${\displaystyle \pi }$ : ${\displaystyle \mathrm {tg} \left(x+\pi \right)=\mathrm {tg} \left(x\right)}$ .
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при ${\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,}$ .
6. Области с постоянен знак:
   ${\displaystyle y>0}$  при ${\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z}$  и
   ${\displaystyle y<0}$  при ${\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,\,n\in Z}$ .
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ${\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$ 
8. Функция ${\displaystyle y=\mathrm {tg} \ x}$  расте при ${\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n\,;\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\,,\,n\in Z}$ .

Свойства на функцията котангенс

 

1. Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: ${\displaystyle D(y)=\mathbb {R} ,}$  освен числата ${\displaystyle x=n\pi .}$ 
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} \,}$ .
3. Функцията ${\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)}$  е нечетна: ${\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ x\,}$ .
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на ${\displaystyle \pi }$ : ${\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(x+\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)\,}$ .
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,\,n\in Z\,}$ .
6. Области с постоянен знак:
   ${\displaystyle y>0}$  при ${\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z\,}$  и
   ${\displaystyle y<0}$  при ${\displaystyle x\in \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,;\,\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,}$ .
7. Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: ${\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}$ 
8. Функцията ${\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ x}$  намалява при ${\displaystyle x\in \left(n\pi ;\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,}$ .

Обобщени свойства

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

${\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {tg} } x\,}$ ,

${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,x}$ .

За остри ъгли ${\displaystyle \alpha <{\frac {\pi }{2}}\,\!}$ 

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha \,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }$ ,

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha \,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }$ ,

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha }$ ,

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha }$ , ${\displaystyle \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha }$ .

За ъгли ${\displaystyle 0<\alpha <\pi \,\!}$  е изпълнено

${\displaystyle \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \quad \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha }$ ,

${\displaystyle \sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \,}$ , ${\displaystyle \quad \quad \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \,}$ ,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,}$ ,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,}$ ,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,}$ ,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,}$ .

Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.

• ${\displaystyle \,\sin(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 180^{\circ }}$  или ${\displaystyle \,0\leq x\leq \pi }$ 
• ${\displaystyle \,\sin(x)\leq \ 0}$  für ${\displaystyle \,180^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }}$  или ${\displaystyle \,\pi \leq x\leq 2\pi }$ 

• ${\displaystyle \,\cos(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 90^{\circ },270^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }}$  oder ${\displaystyle \,0\leq x\leq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x\leq 2\pi }$ 
• ${\displaystyle \,\cos(x)\leq \ 0}$  за ${\displaystyle \,90^{\circ }\leq x\leq 270^{\circ }}$  или ${\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}}$ 

• ${\displaystyle \,\tan(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }\leq x<90^{\circ },180^{\circ }\leq x<270^{\circ }}$  или ${\displaystyle \,0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}},\pi \leq x<{\tfrac {3\pi }{2}}}$ 
• ${\displaystyle \,\tan(x)\leq \ 0}$  за ${\displaystyle \,90^{\circ }$  или ${\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}$ 

• ${\displaystyle \,\cot(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }$  или ${\displaystyle \,0$ 
• ${\displaystyle \,\cot(x)\leq \ 0}$  за ${\displaystyle \,90^{\circ }\leq x<180^{\circ },270^{\circ }\leq x<360^{\circ }}$  или ${\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x<\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x<2\pi }$ 

• ${\displaystyle \,\sec(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }$  или ${\displaystyle \,0$ 
• ${\displaystyle \,\sec(x)\leq \ 0}$  за ${\displaystyle \,90^{\circ }$  или ${\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}$ 

• ${\displaystyle \,\csc(x)\geq \ 0}$  за ${\displaystyle \,0^{\circ }$  или ${\displaystyle \,0$ 
• ${\displaystyle \,\csc(x)\leq \ 0}$  за ${\displaystyle \,180^{\circ }$  или ${\displaystyle \,\pi$ 

Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта:

В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции.

Функция	Озна-чения	Изразяване чрез основна връзка	Дефиниционна област	Област на стойностите
Синус	${\displaystyle \operatorname {sin} }$	${\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$	[–1; 1]
Косинус	${\displaystyle \operatorname {cos} }$	${\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$	[–1; 1]
Тангенс	${\displaystyle \operatorname {tg} }$  или ${\displaystyle \operatorname {tan} }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$  без ${\displaystyle \alpha =k\pi }$ , ${\displaystyle k\in }$  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$
Котангенс	${\displaystyle \operatorname {cotg} }$ , ${\displaystyle \operatorname {ctg} }$  или ${\displaystyle \operatorname {cot} }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$  без ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ , ${\displaystyle k\in }$  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$

Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ .}$ 
${\displaystyle \sec ^{2}x-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}x=1\ .}$ 
${\displaystyle \csc ^{2}x-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{x}x=1\ .}$ 

От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор

${\displaystyle \left(AC\right)^{2}+\left(BC\right)^{2}=\left(AB\right)^{2}}$ ,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ .

В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	${\displaystyle \,\sin(x)}$	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\tan(x)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}{\sec(x)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc(x)}}}$
cos(x)	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,\cos(x)}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\cot(x)}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sec(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}{\csc(x)}}}$
tan(x)	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}{\cos(x)}}}$	${\displaystyle \,\tan(x)}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\cot(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}}$
cot(x)	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}{\sin(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\cos(x)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\tan(x)}}}$	${\displaystyle \,\cot(x)}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}$
sec(x)	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\cos(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}{\cot(x)}}}$	${\displaystyle \,\sec(x)}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\csc(x)}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}}$
csc(x)	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sin(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}{\tan(x)}}}$	${\displaystyle \,\pm {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}$	${\displaystyle \,\pm {\frac {\sec(x)}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \,\csc(x)}$

При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът ${\displaystyle \,\pm \,}$  определя две стойности.

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ ,

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$ .

Ползвайки тези формули, а също и равенствата ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}$  ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},}$  ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$  и ${\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}$  може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 

${\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi$ 

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 

${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi$ 

където ${\displaystyle B_{n}}$  са числа на Бернули, ${\displaystyle E_{n}}$  са числа на Ойлер.

Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||:

${\displaystyle \cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\times \|v\|}}}$ .

Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

 

  Основна статия: Тригонометрични константи

Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („${\displaystyle \infty }$ “ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост).

Основни стойности

Радиани	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
Градуси	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$

Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли

Радиани	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$
Градуси	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2}$

Радиани	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$
Градуси	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}+1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$