映射

有甲乙二集，凡甲之一物，相應乙之一物，則曰甲映射乙耳。

夫加，映射也，如「三，四」射七，「二，九」射十一。立方者，亦映射也，如二射八，負一射負一。倍者，亦映射也，如二射四，負三射負六。

凡甲不同之物，射乙不同之物，曰單射，亦曰內射。實數之立方，單射也，蓋異數之立方必異。加法者，非單射耳，蓋二加三即四加一也。

凡乙之物，均為甲物所射，曰滿射，亦曰映上。實數之立方，滿射也，蓋實數必有其立方根射之。實數之平方，非滿射耳，蓋負二無方根射之。

單滿合射者，雙射也，亦曰一一對應。實數之立方，雙射也。倍者，整數雙射偶數也。

集

問：當世數學，物皆為集，然則何謂甲（${\displaystyle A}$ ）映射乙（${\displaystyle B}$ ）（記曰「${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 」）耶？

答曰：映射乃甲乙之關係也。甲取物曰乾（${\displaystyle a}$ ），射乙之一物，曰乾之象（記曰「${\displaystyle f(a)}$ 」）。乾與其象，合成一對（記曰「${\displaystyle (a,f(a))}$ 」），聚以成集，即為映射耳（記曰「${\displaystyle f=\{(a,f(a)):a\in A\}}$ 」）。甲曰定義域，乙曰陪域，而象之集（記曰「${\displaystyle f(A)=\{f(a):a\in A\}}$ 」）曰值域。

高等數學教材之釋（大學通用）

二非空集${\displaystyle X,Y}$ ，以法則${\displaystyle f}$ ，使${\displaystyle X}$ 集之每壹元素${\displaystyle x}$ ，皆對應於唯一確定之元素${\displaystyle y}$ 於${\displaystyle Y}$ 集，則謂${\displaystyle f}$ 爲其之映射自${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle Y}$ 。記曰

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 

其${\displaystyle y}$ 謂之像之于斯映射，且記作${\displaystyle f(x)}$ ，${\displaystyle y=f(x)}$ ；${\displaystyle x}$ 謂之原像之于斯映射。

限格

1. 組成：定義域${\displaystyle D_{f}=X}$ ，值域${\displaystyle R_{f}\subset Y}$ ，法則${\displaystyle f}$ ，定義域之每元素${\displaystyle x}$ 皆有唯一確定元${\displaystyle y}$ 對應之。
2. ${\displaystyle x}$ 之像${\displaystyle y}$ 惟一，而${\displaystyle y}$ 之原像${\displaystyle x}$ 或惟一或不唯一。值域${\displaystyle R_{f}}$ 爲${\displaystyle Y}$ 之子集，記之${\displaystyle R_{f}\subset Y}$ 。、

殊類

1. 集合${\displaystyle R_{f}=Y}$ ，謂之滿射
2. ${\displaystyle X}$ 中任意${\displaystyle f(x_{1})\not =f(x_{2})}$ ，則謂之單射。
3. 滿射且單射，則謂之一一映射（雙射）

辡名

映射亦名算子，泛函，${\displaystyle X}$ 上之變换。實數應射則謂之函數，亦可拓至複數${\displaystyle a+bi}$ 。

• 平方者，非實數映射負數耳，蓋平方必正也。
• 平方者，實數映射自身，惟單滿皆非。
• 平方者，實數滿射正數，惟非單射耳。
• 平方者，正數單射實數，惟非滿射耳。
• 平方者，正數雙射自身也。

可見映射之性，定於其定義域及陪域也。

凡隱射者，其制弗能以為${\displaystyle y=f(x)}$ 也，或云非單射，是故單甲之值可映於雙（或甚）乙之值。實如橢圓、拋物線、雙曲線諸如此類，皆隱射也。

• 族
• 函數術語