எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் (fundamental theorem of arithmetic)
1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பகாஎண்ணாகவோ அல்லது பகாஎண்களின் பெருக்கமாகவோ இருக்கும்.
இவ்வாறு ஒரு முழுஎண் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும்போது அவ்வமைப்பில் காணப்படும் பகாஎண்களில் ஒருபோதும் மாற்றம் இருக்காது. ஆனால் அவற்றின் இடவரிசை மாறலாம். எடுத்துக்காட்டாக,
1200 = 24 × 31 × 52 = 3 × 2× 2× 2× 2 × 5 × 5 = 5 × 2× 3× 2× 5 × 2 × 2 = etc.
அதாவது இத் தேற்றத்தின்படி,
இத்தேற்றத்தின்படி முழுஎண்ணின் காரணிகள் பகாஎண்களாக இருக்கவேண்டியது அவசியம். ஏனென்றால் காரணிகள் பகுஎண்களாக அமையும்போது அம் முழுஎண்ணின் காரணிப்பெருக்க அமைப்பு தனித்த ஒன்றாக இராமல் பல்வேறு விதங்களில் அமைய வாய்ப்புள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, 12 = 2 × 6 = 3 × 4 என அமையலாம்.
இத்தேற்றம் தனித்த காரணியாக்கத் தேற்றம் (unique factorization theorem) அல்லது தனித்த பகாக்காரணியாக்கத் தேற்றம் (unique-prime-factorization theorem) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது
யூக்ளிடின் படைப்பான ‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII இல் காணப்படும் கூற்றுகள் 30, 32 இரண்டும் எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் கூற்றாகவும் நிறுவலாகவும் அமைந்துள்ளன.
இரு எண்களைப் பெருக்குவதால் கிடைக்கும் எண்ணை அளவிடும் எந்தவொரு பகாஎண்ணும் இரு மூலஎண்களில் ஏதாவது ஒன்றையும் அளவிடும் (If two numbers by multiplying one another make some number,and any prime number measure the product, it will also measure one of the original numbers)
– யூக்ளிட், ‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 30
கூற்று 30 ஆனது, யூக்ளிடின் முற்கோள் (Euclid's lemma) எனப்படும். இக் கூற்றே எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான முக்கியக் குறிப்பாக அமைகிறது.
எந்தவொரு பகுஎண்ணும் ஏதேனுமொரு பகாஎண்ணால் அளவிடப்படும். (Any composite number is measured by some prime number)
– யூக்ளிட், ‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 31
31 ஆவது கூற்றானது கூற்று 30 இலிருந்து வருவிக்கப்படுகிறது.
எந்தவொரு எண்ணும் பகா எண்ணாகவோ அல்லது ஒரு பகாஎண்ணால் அளவிடபடுவதாகவோ அமையும். (Any number either is prime or is measured by some prime number)
– யூக்ளிட், ‘எலிமெண்ட்ஸ்’ -புத்தகம் VII, கூற்று 32
32 ஆவது கூற்றானது கூற்று 31 இலிருந்து வருவிக்கப்படுகிறது.
கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காசின் புத்தகத்தில் பிரிவு 16 ஆனது (Disquisitiones Arithmeticae) எண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின் நவீனக் கூற்று மற்றும் நிறுவலாக உள்ளது. இதில் சமானம், மாடுலோ n பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண்ணையும் ஓரேயொரு விதத்தில் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுதலாம்:
இங்கு p1 < p2 < ... < pk பகாஎண்கள்; αi நேர்முழுஎண்கள்.
இது n இன் விதிமுறை வடிவம் (canonical representation) அல்லது நியம வடிவம் (standard form) எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு:
n இன் மதிப்பு மாறாமல், p0 = 1 போன்ற காரணிகளை இவ் வடிவினுள் நுழைக்கலாம்.
இதனால் பூச்சிய அடுக்குகொண்ட எத்தனை பகாக்காரணிகளை சேர்ப்பதன் மூலம், ஒரு நேர் முழுஎண்ணைப் பகாஎண்களின் முடிவிலாப் பெருக்கமாக எழுத முடிகிறது:
இதில் ni இன் முடிவுறு மதிப்புகள் நேர் முழுஎண்களாகவும் மற்றவை பூச்சியமாகவும் இருக்கும். எதிரடுக்கள், நேர் விகிதமுறு எண்களின் விதிமுறை வடிவினைத் தரும்.
எண்களை இவ்வாறு நியம வடிவில் எழுதுவதால், பெருக்கல், மீப்பெரு பொது வகுத்தி காணல், மீச்சிறு பொது மடங்கு காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களை எளிதாகச் செய்ய முடிகிறது:
நியம வடிவைப் பயன்படுத்தி பல எண்கணிதச் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, பகாஎண்களின் அடுக்குகளின் மீதான சார்பலன்களின் மதிப்புகளைக் கொண்டு கூட்டல் சார்பு மற்றும் பெருக்கல் சார்பு இரண்டும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.
இத் தேற்றம் யூக்ளிடின் முற்கோளைப் (எலிமெண்ட்ஸ் VII, 30) பயன்படுத்தி நிறுவப்படுகிறது (a , b என்ற இரு இயல் எண்களின் பெருக்கத்தைப் பகாஎண் p வகுக்குமானால், கண்டிப்பாக அது a அல்லது b அல்லது இரண்டையும் வகுக்கும்). )
தேற்றத்தின் கூற்று: 1ஐ விடப் பெரியதான ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும்
இந் நிறுவலில் தொகுத்தறிதல்முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.
நிறுவலின் படிநிலைகள்:
, 1 < a ≤ b < n. (a, b முழுஎண்கள்) என அமையும்.
a = p1p2...pj
b = q1q2...qk
n = ab = p1p2...pjq1q2...qk
அதாவது n ம் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமைகிறது.
The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".
These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.
This article uses material from the Wikipedia தமிழ் article எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம், which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). வேறுவகையாகக் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தாலன்றி இவ்வுள்ளடக்கம் CC BY-SA 4.0 இல் கீழ் கிடைக்கும். Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki தமிழ் (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.