Undirstöðusetning Reikningslistarinnar

Hverja náttúrlega tölu n stærri en 1 má rita sem margfeldi frumtalna á einn og aðeins einn hátt (óháð röð).

${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s-1},p_{s}}$ 

${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\dots p_{s-1}p_{s}}$ 

${\displaystyle s}$ 

${\displaystyle 1}$ 

${\displaystyle n=2}$ 

${\displaystyle n=p_{1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_{r}=q_{1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot q_{s}}$ 

Við getum þá raðað þáttunum þannig að p₁≤ ··· ≤ p_r og q₁≤ ··· ≤ q_s. Við fullyrðum að p₁= q₁ en gerum ráð fyrir til mótsagnar að svo sé ekki og að p₁ ≤ q₁. Þá er:

${\displaystyle m:=p_{1}\cdot q_{2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot q_{s}$ 

p₁ gengur bæði upp í n og m og því einnig upp í n - m:

(I) ${\displaystyle n-m=p_{1}\cdot u_{1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot u_{h}}$ 

Þar sem u₁· ··· ·u_h er margfeldi frumtalna. Einnig er n - m = (q₁ - p₁) · q₁· ··· ·q₁ og rita má (q₁ - p₁) = v₁· ··· ·v_t. En þar með er:

(II) ${\displaystyle n-m=v_{1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot v_{t}\cdot q_{1}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot q_{s}}$ 

Talan p₁ gengur ekki upp í (q₁ - p₁) þar sem q₁ er frumtala. Þá er (I) og (II) tveir mismunandi rithættir á n - m sem er í mótsögn við þrepunarforsendu. Þar með er p₁ = q₁ og einnig r=s fyrir p₁· ··· ·p_r = q₂· ··· ·q_sog p_k = q_k fyrir k = 2, ..., r.

Quod erat demonstrandum

Setningar, frumsendur og hugtök mikilvæg fyrir þessa sönnun: Stærðfræðileg þrepun, óbein sönnun, frumtölur