Spiralja E Arkimedit

Është grumbulli që korrespondon me vendndodhjet me kalimin e kohës të një pike që largohet nga një pikë fikse me një shpejtësi konstante përgjatë një linje që rrotullohet me shpejtësi këndore konstante. Në mënyrë të njëvlershme, në koordinatat polare ${\displaystyle (r,\theta )}$ mund të përshkruhet nga ekuacioni

$${\displaystyle r=a+b\cdot \theta }$$

${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \theta =\pi }$

Arkimedi e përshkroi një spirale të tillë në librin e tij Mbi spiralet . Kononi i Samos ishte një mik i tij dhe Pappi thotë se kjo spirale u zbulua nga Kononi.

 

Jepet parametrizimi në koordinata karteziane

$${\displaystyle f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )}$$

 

${\displaystyle \theta _{1}}$ 

${\displaystyle \theta _{2}}$ 

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$

 

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.}$$

 

${\displaystyle \theta _{1}=0}$ 

${\displaystyle \theta _{2}=\theta }$ 

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].}$$

 

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b(\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}}}$$

 

 

Spiralja e Arkimedit ka vetinë që çdo rreze nga origjina i pret rrotullimet e njëpasnjëshme të spirales në pika me një largësi ndarjeje konstante (e barabartë me 2πb nëse θ matet në radianë ), prandaj edhe emri "spiralja aritmetike". Në ndryshim nga kjo, në një spirale logaritmike këto largësi, si dhe largësitë e pikave të kryqëzimit të matura nga origjina, formojnë një progresion gjeometrik .

Ndërsa spiralja e Arkimedit rritet, evoluta e saj në mënyrë asimptotike i afrohet një rrethi me rreze

Një metodë e katrorimit të rrethit, për shkak të Arkimedit, përdor një spirale të Arkimedit. Arkimedi tregoi gjithashtu se si spiralja mund të përdoret për të treprerë një kënd . Të dyja përqasjet lehtësojnë kufizimet tradicionale në përdorimin e vijës së drejtë dhe busullës në provat gjeometrike greke të lashta.

 

Spiralja e Arkimedit ka një sërë aplikimesh në botën reale. Kompresorët me rrotulla, të përdorur për ngjeshjen e gazeve, kanë rotorë që mund të bëhen nga dy spirale të ndërthurura arkimediane, involuta të një rrethi të së njëjtës madhësi që pothuajse i ngjajnë spirales së Arkimedit, ose kurbave hibride.

Të kërkosh që një pacient të vizatojë një spirale të Arkimedit është një mënyrë për të matur dridhjen njerëzore; Ky informacion ndihmon në diagnostikimin e sëmundjeve neurologjike.