Un módulo sobre un anel R é unha estrutura alxébrica que se define sobre un conxunto M.
Este artigo contén varias ligazóns externas e/ou bibliografía ao fin da páxina, mais poucas ou ningunha referencia no corpo do texto. Por favor, mellora o artigo introducindo notas ao pé, citando as fontes. Podes ver exemplos de como se fai nestes artigos. |
Sobre este conxunto defínese unha operación interna que o cualifica como grupo abeliano e unha operación entre os elementos de R e os de M que verifica certas propiedades.
Especificamente, un módulo pola esquerda sobre o anel R consiste nun grupo abeliano (M, +) e unha operación R × M → M (multiplicación escalar, xeralmente escrita como xustaposición, é dicir, rx para r en R e x en M) tal que
Para todo r, s en R, x, y en M, temos
Xeralmente, escríbese simplemente "un R - módulo pola esquerda M" ou RM.
Un R módulo pola dereita M ou MR defínese de forma semellante, só que o anel actúa pola dereita, é dicir, a multiplicación escalar é da forma M × R → M, e as tres propiedades escríbense cos escalares r e s á dereita de x e y.
Se R é conmutativo, entón os R-módulos pola esquerda son iguais cós R-módulos pola dereita e chámanse simplemente R-módulos.
Se M é un R-módulo pola esquerda e N é un subgrupo de M. Entón N é un submódulo (o R-submódulo, para ser máis explícito) se, para calquera n en N e calquera r en R, o produto rn está en N (ou o nr para un módulo pola dereita). Se M e N son R - módulos, entón unha función f: M → N é un homomorfismo de R - módulos se, para calquera m, n en M e r, s en R,
Isto, como calquera homomorfismo entre obxectos matemáticos, é precisamente unha función que conserva a estrutura dos obxectos. Un homomorfismo bixectivo de módulos é un isomorfismo de módulos, e os dous módulos chámanse isomorfos. Dous módulos isomorfos son idénticos para todos os propósitos prácticos, diferenciándose soamente na notación dos seus elementos.
O núcleo dun homomorfismo de módulos f: M → N é o submódulo de M que consiste en todos os elementos teñen imaxe cero por f. Os teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos e de espazos vectorias son tamén válidos para R-módulos.
Os R-módulos pola esquerda, xunto cos seus homomorfismos de módulo, forman unha categoría, escrita como RMod. Esta é unha categoría abeliana.
Se M é un R-módulo pola esquerda, entón a acción dun elemento r en R se define como a función M → M que envía cada x ao rx (ou ao xr no caso dun módulo pola dereita), e é necesariamente un endomorfismo de grupo do grupo abeliano (M, +). O conxunto de todos os endomorfismos de grupo de M denótase EndZ(M) e forma un anel baixo a adición e a composición, e enviando un elemento r do anel R a súa acción define realmente un homomorfismo de anel de R a EndZ(M).
O homorfismo R do anel → EndZ(M) chámase representación de R no grupo abeliano M; unha maneira alternativa e equivalente de definir R-módulos pola esquerda é dicir que un R-módulo pola esquerda é un grupo abeliano M xunto cunha representación de R nel.
Unha representación chámase fiel se e só se a función R → EndZ(M) é inxectiva. En termos de módulos, isto significa que se r é un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entón r = 0. Cada grupo abeliano é un módulo fiel sobre os números enteiros ou sobre unha certa aritmética modular Z/n Z.
This article uses material from the Wikipedia Galego article Módulo (álxebra), which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Todo o contido está dispoñible baixo a licenza CC BY-SA 4.0, agás que se indique o contrario. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Galego (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.