Algebra Modul

Neka je R prsten s jedinicom ${\displaystyle 1_{R}}$. Lijevi modul nad R (sinonim: lijevi R-modul) je Abelova grupa ${\displaystyle M=(M,+,0)}$ zajedno s funkcijom ${\displaystyle \nu :R\times M\to M}$ takvom da za sve ${\displaystyle r,s\in R,m,m'\in M}$ vrijedi

(i) ${\displaystyle \nu (r,\nu (s,m))=\nu (r\cdot s,m)}$ (aksiom lijevog djelovanja) (ii) ${\displaystyle \nu (r+s,m)=\nu (r,m)+\nu (s,m)}$ (aditivnost u R)  (iii) ${\displaystyle \nu (r,m+m')=\nu (r,m)+\nu (r,m')}$ (aditivnost u M) (iv) ${\displaystyle \nu (1_{R},m)=m}$ (unitalnost djelovanja) 

Funkciju ${\displaystyle \nu }$ zovemo djelovanjem R-modula ${\displaystyle (M,\nu )}$.

Često djelovanje označavamo sintaktički kao dvovrsnu binarnu operaciju, tj. njenu oznaku pišemo između argumenata. Ako je djelovanje dakle ${\displaystyle \triangleright :R\times M\to M}$, u toj sintaksi su gornji aksiomi

(i) ${\displaystyle r\triangleright (s\triangleright m)=(r\cdot s)\triangleright m}$ (aksiom lijevog djelovanja) (ii) ${\displaystyle (r+s)\triangleright m=r\triangleright m+s\triangleright m}$ (aditivnost u R)  (iii) ${\displaystyle r\triangleright (m+m')=r\triangleright m+r\triangleright m'}$ (aditivnost u M) (iv) ${\displaystyle 1_{R}\triangleright m=m}$ (unitalnost djelovanja)