Matematika Polje

Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$, polje kompleksnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {C} }$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten (${\displaystyle \mathbb {F} }$ , +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od ${\displaystyle \mathbb {F} }$  osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od ${\displaystyle \mathbb {F} }$  za + i *
${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a+b\in \mathbb {F} }$  i ${\displaystyle a*b\in \mathbb {F} }$  (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije
${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$  i ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$ .
+ i * su komutativne operacije
${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a+b=b+a}$  i ${\displaystyle a*b=b*a}$ .
Vrijedi distributivnost operacije * prema +
${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)}$ .
Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje
${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {F} }$  takav da je ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ .
Postojanje neutralnog elementa za množenje
${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {F} }$  takav da je ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} }$ , ${\displaystyle a*1=1*a=a}$ .
Postojanje inverza za zbrajanje
${\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \exists -a\in \mathbb {F} }$ , takav da je ${\displaystyle a+(-a)=-a+a=0}$ .
Postojanje inverza za množenje
${\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} ,a\neq 0}$ , ${\displaystyle \exists a^{-1}\in \mathbb {F} }$ , takav da je ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=1}$ .

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (${\displaystyle \mathbb {F} }$ , +) i (${\displaystyle \mathbb {F} \setminus \{0\}}$ , *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

• Kompleksni brojevi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
• Racionalni brojevi ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}}$  | ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \}}$ , gdje je ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  skup cijelih brojeva, a ${\displaystyle \mathbb {N} }$  skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.