Matematika Polje

Sva polja su prstenovi, ali nisu svi prstenovi polja. Polja se razlikuju od prstenova najviše po zahtevu da je deljenje moguće, ali i, danas, po zahtevu da je operacija množenja na polju komutativna.

Prototipski primer polja je skup Q, polje racionalnih brojeva. Među drugim važnim primerima je polje realnih brojeva R, polje kompleksnih brojeva C i, za svaki prost broj p, konačno polje celih brojeva po modulu p, što se označava Z/pZ, F_p ili GF(p). Za svako polje K, skup K(X) racionalnih funkcija sa koeficijentima iz K je takođe polje.

Matematička disciplina koja proučava polja se naziva teorija polja.

Definicija 1

Polje je komutativni prsten sa deljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativan prsten (F, +, *) takav da 0 nije jednako 1 i svi elementi iz F izuzev 0 imaju multiplikativni inverz. (Valja imati u vidu da su 0 i 1 neutrali za + i * redom, i mogu se razlikovati od realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje definišu sledeća svojstva:

Zatvorenost skupa F u odnosu na + i *
Za svako a, b iz F, i a + b i a * b pripadaju F (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
I + i * su asocijativne
Za svako a, b, c iz F, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
I + i * su komutativne
Za svako a, b iz F, a + b = b + a i a * b = b * a.
Operacija * je distributivna nad operacijom +
Za svako a, b, c, iz F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Postojanje aditivnog neutrala
Postoji element 0 u F, takav da za svako a iz F, a + 0 = a.
Postojanje multiplikativnog neutrala
Postoji element 1 u F različit od 0, takav da za svako a iz F, a * 1 = a.
Postojanje aditivnih inverza
Za svako a iz F, postoji element −a iz F, takav da a + (−a) = 0.
Postojanje multiplikativnih inverza
za svako a ≠ 0 iz F, postoji element a⁻¹ iz F, takav da a * a⁻¹ = 1.

Zahtev da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Direktno iz aksoma, može se pokazati da (F, +) i (F − {0}, *) su komutativne grupe (abelove grupe) i da su stoga aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni sa a. Među drugim korisnim pravilima su

−a = (−1) * a

i opštije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)

kao i

a * 0 = 0,

sva ova pravila su poznata iz elementarne aritmetike.

Ako se izuzme zahtev za komutativnošću operacije * razlikuju se gornja komutativna polja od nekomutativnih polja.

Koncept polja je uveo Dedekind, koji je koristio nemačku reč Körper (telo) za ovaj pojam. On je takođe prvi definisao prstenove, ali izraz prsten (Zahlring) je uveo Hilbert.

• Kompleksni brojevi C, u odnosu na uobičajene operacije sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sledeća podpolja:
• Racionalni brojevi Q = { a/b | a, b iz Z, b ≠ 0 } gde je Z skup celih brojeva. Polje radionalnih brojeva ne sadrži prava podpolja.
  • Polje algebarskih brojeva je konačno proširenje polja racionalnih brojeva Q, to jest, polje koje sadrži Q koje ima konačnu dimenziju kao vektorski prostor nad Q. Svako takvo polje je izomorfno podpolju od C, i svaki takav izomorfizam indukuje identitet na Q. Ova polja su vrlo važna u teoriji brojeva.
  • Polje algebarskih brojeva ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ , je algebarska zatvorenost od Q. Polje algebarskih brojeva je primer algebarski zatvorenog polja karakteristike nula.
• Realni brojevi R, u odnosu na uobičajeno sabiranje i množenje.
  • Realni brojevi imaju nekoliko interesantnih podpolja: realni algebarski brojevi, izračunljivi brojevi.
• Postoji (do na izomorfizam) tačno jedno konačno polje sa q elemenata, za svaki konačan broj q koji je stepen prostog broja, q≠ 1. (Ne postoji konačno polje sa drugim brojem elemenata.) Ovo se obično označava sa F_q. Takva polja se obično nazivaju polja Galoa.
  • Ako je dat prost broj p, skup celih brojeva po modulu p je konačno polje sa p elemenata Z/pZ = F_p = {0, 1, ..., p − 1} gde su operacije definisane izvođenjem operacija u Z, deljenjem sa p i uzimanjem ostatka; vidi: modularna aritmetika.
  • Ako je p = 2, dobijamo najmanje polje, F₂, koje ima samo dva elementa: 0 i 1. Može se definisati sa dve Kejlijeve tabele

     +  0  1        *  0  1      0  0  1        0  0  0      1  1  0        1  0  1 

Ovo polje ima važne primene u računarstvu, posebno u kriptografiji.

• Neka su E i F dva polja, i F je podpolje od E. Neka je x element iz E koji nije u F. Tada postoji najmanje podpolje od E koje sadrži F i x, što se označava sa F(x). Kažemo da je F(x) prosto proširenje od F. Na primer, Q(i) je podpolje C koje se sastoji od svih brojeva oblika a + bi gde su i a i b racionalni brojevi.
• Za dato polje F, skup F(X) racionalnih funkcija promenljive X sa koeficijentima iz F je polje.
• Ako je F polje, i p(X) je nerastavljiv polinom u prstenu polinoma F[X], tada je koeficijent F[X]/<p(X)>, gde <p(X)> označava ideal generisan sa p(X), polje sa podpoljem izomorfnim sa F. Na primer, R[X]/<X² + 1> je polje (izomorfno polju kompleksnih brojeva). Može se pokazati da je svako prosto algebarsko proširenje od F izomorfna polju ovog oblika.
• Kada je F polje, skup F((X)) formalni Loranov red nad F je polje.
• Ako je V algebarski varijetet nad F, tada racionalne funkcije V → F grade polje, polje funkcija nad V.
• Ako je S Rimanova površina, tada meromorfne funkcije S → C grade polje.
• Hiperrealni brojevi i superrealni brojevi proširuju realne brojeve sabiranjem infinitezimalnih i beskonačnih brojeva.