Conxunto: Agrupación de obxectos considerada como un obxecto en sí

Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se ${\displaystyle ~A}$  é un conxunto e ${\displaystyle ~a,b,c,d,e}$  todos os seus elementos, é frecuente escribir:

${\displaystyle ~A=\{a,b,c,d,e\}}$  (1)

para definir tal conxunto ${\displaystyle ~A}$ . A notación empregada en (1) para definir o conxunto ${\displaystyle ~A}$  chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento ${\displaystyle ~x}$  pertence a un conxunto ${\displaystyle ~A}$ , escríbese ${\displaystyle x\in A}$  (léase ben ${\displaystyle ~x}$  no ${\displaystyle ~A}$ , ben ${\displaystyle ~x}$  pertence ao ${\displaystyle ~A}$ ). A negación de ${\displaystyle x\in A}$  escríbese ${\displaystyle x\notin A}$  (léase ${\displaystyle ~x}$  non pertence ao ${\displaystyle ~A}$ ).

Se todos os elementos ${\displaystyle ~x}$  dun conxunto ${\displaystyle ~A}$  satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición ${\displaystyle p\left(x\right)}$  coa indeterminada ${\displaystyle ~x}$ —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

${\displaystyle ~A=\{x:p\left(x\right)\}}$ 
A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra ${\displaystyle \mid }$  "tal que".

Por exemplo, o conxunto ${\displaystyle ~A=\{1,2,3,4\}}$  pode definirse por:

${\displaystyle ~A=\{n:1\leq n\leq 4,n\in \mathbb {N} \}}$ .

O símbolo ${\displaystyle \mathbb {N} }$  representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e superconxuntos

 

Un conxunto ${\displaystyle ~A}$  dise subconxunto doutro ${\displaystyle ~B}$ , se todos os elementos do ${\displaystyle ~A}$  son tamén elementos do ${\displaystyle ~B}$ ; matematicamente:

${\displaystyle x\in A\qquad \Rightarrow \qquad x\in B}$ ,

sexa cal for o elemento ${\displaystyle ~x}$ . Así, escríbese ${\displaystyle A\subseteq B}$ .

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se ${\displaystyle A\subseteq B}$ , cumprirse ${\displaystyle A=B}$ . Se o ${\displaystyle ~B}$  ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto ${\displaystyle ~A}$ , mais se todos os elementos do ${\displaystyle ~A}$  son elementos do ${\displaystyle ~B}$ , entón dicimos que ${\displaystyle ~A}$  é un subconxunto propio do ${\displaystyle ~B}$ , o que se representa como ${\displaystyle A\subset B}$ .

Se o ${\displaystyle ~A}$  é un subconxunto do ${\displaystyle ~B}$ , dicimos tamén que o ${\displaystyle ~B}$  é un superconxunto do ${\displaystyle ~A}$ , o que se escribe ${\displaystyle B\supseteq A}$ . Logo

${\displaystyle B\supseteq A\qquad \Leftrightarrow \qquad A\subseteq B}$ ,

e tamén: ${\displaystyle B\supset A\qquad \Leftrightarrow \qquad A\subset B}$ ,

significando ${\displaystyle B\supset A}$  que o ${\displaystyle ~B}$  é superconxunto propio do ${\displaystyle ~A}$ .

Polo principio de indentidade, é sempre certo ${\displaystyle x\in A\quad \Rightarrow \quad x\in A}$ , para todos os elementos ${\displaystyle ~x}$ , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que ${\displaystyle \subseteq }$  é unha relación de orde sobre un conxunto ${\displaystyle ~S}$  de conxuntos, pois

${\displaystyle A\subseteq A}$			${\displaystyle \subseteq }$  é reflexiva.
${\displaystyle A\subseteq B\wedge B\subseteq A}$	${\displaystyle \qquad \Rightarrow \qquad }$	${\displaystyle A=B\,}$	${\displaystyle \subseteq }$  é antisimétrica
${\displaystyle A\subseteq B\wedge B\subseteq C}$	${\displaystyle \qquad \Rightarrow \qquad }$	${\displaystyle A\subseteq C}$	${\displaystyle \subseteq }$  é transitiva

Conxunto baleiro

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por ${\displaystyle \{\}}$  ou ${\displaystyle \emptyset }$ 

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Sexan ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$  dous conxuntos.

Unión

 

Os elementos que pertencen ao ${\displaystyle ~A}$  ou ao ${\displaystyle ~B}$  ou a ambos os dous ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$ , forman outro conxunto, chamado unión de ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$ , escrito ${\displaystyle A\cup B}$ . Matematicamente:

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\quad \vee \quad x\in B\}}$ .

Intersección

 

Os elementos comúns de ${\displaystyle ~A}$  e mais de ${\displaystyle ~B}$  forman un conxunto denominado intersección de ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$ , representado por ${\displaystyle A\cap B}$ :

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\quad \wedge \quad x\in B\}}$ .

Se dous conxuntos ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$  son tales que ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ , entón ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$  dinse conxuntos disxuntos.

Diferenza

 

Os elementos dun conxunto ${\displaystyle ~A}$  que non se atopan noutro conxunto ${\displaystyle ~B}$ , forman outro conxunto chamado diferenza de ${\displaystyle ~A}$  e ${\displaystyle ~B}$ , representado por, ${\displaystyle A\setminus B}$ :

${\displaystyle A\setminus B=\{x:x\in A\quad \wedge \quad x\notin B\}}$ .

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

• A ∩ A = A
• A ∪ A = A
• A - A = Ø
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ B = B ∪ A
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
• C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
• C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
• (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
• (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
• A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
• A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
• A ⊆ B ↔ A - B = Ø
• A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
• A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
• A ∩ Ø = Ø
• A ∪ Ø = A
• Ø - A = Ø
• A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

• A'' = A
• B - A = A' ∩ B
• (B - A)' = A ∪ B'
• A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
• A ∩ U = A
• A ∪ U = U
• U - A = A'
• A - U = Ø