Σύνολο

Η έννοια του συνόλου είναι «αρχική έννοια» για τα Μαθηματικά, δηλαδή δεν μπορεί να ορισθεί με χρήση απλούστερων εννοιών, γι' αυτό γίνονται αποδεκτά αξιωματικά, χωρίς απόδειξη.

Παρόλο που εφευρέθηκε σχετικά πρόσφατα, στο τέλος του 19ο αιώνα, η Θεωρία Συνόλων είναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών.

Στην εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα διαγράμματα Βενν, αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή στις αντίστοιχες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης πανεπιστημιακού επιπέδου.

Ο Γκέοργκ Καντόρ, ιδρυτής της Αφελούς Θεωρίας Συνόλων, στο «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre», έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

«Σύνολο ονομάζουμε κάθε συλλογή M, (σαφώς) διακριτών αντικειμένων m (που ονομάζουμε «στοιχεία» του συνόλου M), της διαίσθησης ή της σκέψης μας, που θεωρούμε ως ολότητα.»

Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς μέχρι ανθρώπους ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόν αποτελείται από στοιχεία. Στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι άλλα σύνολα ή και σύνολα συνόλων. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α τότε λέμε ότι το στοιχείο x περιέχεται στο σύνολο A ή ότι το σύνολο A περιέχει το στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναι μέλος του συνόλου A. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό ${\displaystyle \mathrm {x\in A} }$  αν το x ανήκει στο A και το συμβολισμό ${\displaystyle \mathrm {x\notin A} }$  αν το x δεν ανήκει στο A.

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό το σύνολο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή με ${\displaystyle \mathrm {\varnothing } }$ . Η ύπαρξη αυτού του συνόλου αποτελεί ένα από τα αξιώματα της συνηθέστερης αξιωματικής θεωρίας συνόλων, αυτής των Ζερμέλο-Φρένκελ ή ZF. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.

Σημειώνεται ότι στην ZF, αντίθετα με την αφελή, τα σύνολα μπορούν να έχουν στοιχεία μόνο άλλα σύνολα.

Βασική ιδιότητα των συνόλων γενικά, η οποία είναι απόρροια του παραπάνω ορισμού είναι το γεγονός ότι ένα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του, δηλαδή ότι αν τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία τότε είναι ίσα.

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μία φορές ένα στοιχείο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου (συμβολίζεται συνήθως με Ν ή με #). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

Για να περιγράψουμε ένα σύνολο συνήθως χρησιμοποιούμε δύο άγκιστρα «{» και «}» ανάμεσα στα οποία γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου. Για παράδειγμα το σύνολο Α που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται ως εξής: Α = {1,3,5}. Η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχει κανένα ρόλο. Σημειώνεται, ότι αν ένα σύνολο με άπειρο αριθμό στοιχείων είναι αριθμήσιμο τότε η παράστασή του γίνεται με την αναγραφή αρκετών στοιχείων της σειράς των απείρων όρων που ορίζει το σύνολο αυτό. Παράδειγμα η αναγραφή τού συνόλου όλων των φυσικών αριθμών ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {N} } }$  = {0, 1, 2, 3, ...}.

Ένας δεύτερος τρόπος περιγραφής ενός συνόλου είναι να δώσουμε μια ιδιότητα ή συνθήκη που χαρακτηρίζει τα στοιχεία του συνόλου και να απαιτούμε να ικανοποιείται από τα στοιχεία του συνόλου και μόνο απ' αυτά. Για παράδειγμα το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων φυσικών γράφεται ως εξής: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2k:k\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}}$ .

Τέλος ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ή γραφικά με την χρησιμοποίηση βέννειων διαγραμμάτων που δίνουν μια περισσότερο εποπτική αντίληψη της έννοιάς τους.

Παραδείγματα

1. Το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου: A = {α, ε, η, ι, ο, υ, ω}.
2. Το σύνολο των μονοψήφιων φυσικών αριθμών: Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Το σύνολο των κατοίκων του Δήμου Αθηναίων: Γ = {x:x: Κάτοικος του Δήμου Αθηναίων}.
4. Το σύνολο των μαθητριών Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας. Δ = {x/x: Μαθήτρια Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας}
5. Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2010: E = {0, 1, 2}.
6. Το σύνολο των μηνών ενός έτους: Z = {x/x: Μήνας του έτους}.
7. Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «άξιος»: Η = {α, ι, ξ, ο, ς}.
8. Το σύνολο των σημείων που αποτελούν το ευθύγραμμο τμήμα: ${\displaystyle \mathrm {\Theta =\{X/X\in AB\}} }$ .
9. Το σύνολο των αλογόνων. A₇ = {F, Cl, Br, I, At}.
10. Το σύνολο των (φυσικών) δορυφόρων του πλανήτη Κρόνου: Δ_Κ = {x/x: Δορυφόρος του Κρόνου}.
11. Το σύνολο των ρητών αριθμών: ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\end{Bmatrix}}} }$ 
12. Το σύνολο των νοτών μιας οκτάβας: Ο = {ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι}.

Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με ${\displaystyle \mathrm {X\subseteq Y} }$ , εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

${\displaystyle \mathrm {\forall x(x\in X\rightarrow x\in Y)} }$ 

Παραδείγματα:

• το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων
• ${\displaystyle \mathrm {\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}} }$ 
• ${\displaystyle \mathrm {\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}} }$ 

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο ${\displaystyle \mathrm {\varnothing } }$  είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

• ${\displaystyle \mathrm {\varnothing \subseteq A} }$  για κάθε σύνολο Α
• ${\displaystyle \mathrm {A\subseteq A} }$  για κάθε σύνολο Α

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ ${\displaystyle \mathrm {\neq } }$  Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναι γνήσιο υποσύνολο του Υ και το συμβολίζουμε με ${\displaystyle \mathrm {X\subset Y} }$  ή με ${\displaystyle \mathrm {X\subsetneq Y} }$ .

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {P} } }$ , το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {N} } }$ , το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3, ...}.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Z} } }$ , το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} } }$ , το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\end{Bmatrix}}} }$ .
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {R} } }$ , το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {C} } }$ , το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {z:z = x + yi, i²=-1}. ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}\equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ .
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {H} } }$ , το σύνολο όλων των τετραδονίων. Αυτό γράφεται και ως {z:z = a + bi + cj + dk: i² = j² = k² = ijk = -1}. ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {H} \equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \equiv \mathbb {R} ^{4}} }$ .
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {R} ^{v}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times ...\times \mathbb {R} } \\\mathrm {v\;\pi \alpha \rho {\acute {\alpha }}\gamma o\nu \tau \epsilon \varsigma } \end{matrix}}} }$ , το σύνολο των στοιχείων του διανυσματικού χώρου διάστασης ${\displaystyle \mathrm {v\in \mathbb {N} ,\;v>2} }$ .

Το καθένα από τα πιο πάνω σύνολα έχει άπειρα στοιχεία, αλλά ισχύει ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{v}} }$ .

Για οποιαδήποτε σύνολα Aᵢ με i ∈ ℕ ισχύει

• ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}.}$ 

• ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}.}$ 

• ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\cup \cdots .}$ 

• ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\cap \cdots .}$ 

Κάποιες άλλες ιδιότητες των συνόλων :

• ${\displaystyle A\cap \bigcup _{i\in I}X_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap X_{i})}$ 

• ${\displaystyle A\cup \bigcap _{i\in I}X_{i}=\bigcap _{i\in I}(A\cup X_{i}).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}X_{i}\right)-A=\bigcap _{i\in I}(X_{i}-A).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}X_{i}\right)-A=\bigcup _{i\in I}(X_{i}-A).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}X_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}Y_{j}\right)=\bigcap \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(X_{i}\cup Y_{j}).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}X_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}Y_{j}\right)=\bigcup \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(X_{i}\cap Y_{j}).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\times B=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\times B).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\times B=\bigcup _{i\in I}(A_{i}\times B).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\times \left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(A_{i}\times B_{j}).}$ 

• ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\times \left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup \limits _{\begin{smallmatrix}{i\in I}\\{j\in {J}}\end{smallmatrix}}(A_{i}\times B_{j}).}$ 

• Θεωρία συνόλων

• Γεωργίου, Δ., Αντωνίου, Ε., Χατζημιχαηλίδης, Α. 2015. Θεωρία Συνόλων Αρχειοθετήθηκε 2019-01-30 στο Wayback Machine.. [Κεφάλαιο Συγγράμματος]. Στο Γεωργίου, Δ., Αντωνίου, Ε., Χατζημιχαηλίδης, Α. 2015. Διακριτές μαθηματικές δομές για την επιστήμη των υπολογιστών. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. κεφ 1. Διαθέσιμο στο: http://hdl.handle.net/11419/458. Αρχειοθετήθηκε 30/01/2019. Ανακτήθηκε 30/01/2019.