Matematika Pangkat

Maaring kahit anumang bagay ang mga elementong binubuo ng isang pangkat: mga tao, mga titik ng alpabeto, mga bilang, mga punto sa espasyo, mga guhit, mga hugis pang-heometriya, mga baryable, o kahit ibang mga pangkat. Magkatumbas ang dalawang pangkat kung at kung lamang sila ay mayroong tumpak na mga parehong elemento.

Nasa lahat ng dako ng makabagong matematika ang mga pangkat. Sa katunayan, ang teorya ng pangkat, mas partikular ang teorya ng pangkat ng Zermelo–Fraenkel, ay naging pamantayang paraan upang magbigay ng mahigpit na mga pundasyon para sa lahat ng sangay ng matematika simula pa noong unang kalahati ng ika-20 dantaon.

Lumitaw ang konsepto ng isang pangkat sa matematika sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. Ang Alemang salita para sa isang pangkat, Menge, ay nilalang ni Bernard Bolzano sa kaniyang aklat ng Paradoxien des Unendlichen (Tagalog: Mga Kabalintunaan ng Walang Hangganan).

 

Ibinigay ni Georg Cantor, isa sa mga tagapagtatag ng teorya ng pangkat, ang kasunod na kahulugan sa simula ng kaniyang Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Tagalog: Mga Ambag para sa Pundasyon ng Teorya ng Pangkat):

Ang pangkat ay isang kapulungan sa kabuuan ng mga natatanging bagay ng nating persepsyon o nating pag-iisip, na tinatawag na mga elemento ng pangkat.

Nagpasok ni Bertrand Russell ang katangian sa pagitan ng isang pangkat at isang klase (ang pangkat ay isang klase, pero ilang mga klase, tulad ng klase ng lahat ng mga pangkat, hindi ay mga pangkat, halimbawa kabalintunaan ni Russell):

Kapag inatupag ng mga matematiko ang kapulungan, Menge, ensemble, o katumbas na pangalan, karaniwan, lalo na kung saan ang bilang ng mga termino na kinabibilangan ay may hangganan, may palagay ng mismong bagay (sa katunayan isang klase) bilang tala ng niyang mga termino, at palagay na posible na may iisang termino, na nasa kasong iyon ay isang klase.

Intuitibong teorya ng pangkat

Ang pangunahing propyedad ng isang pangkat ay na maaaring sumaklaw ng mga elemento, na tinatawag din na miyembro. Katumbas ang dalawang pangkat kung may parehong mga elemento. Mas eksakto na, katumbas ang mga pangkat ng A at B kung bawa't isang elemento ng A ay isang elemento ng B, at bawa't isang elemento ng B ay isang elemento ng A. Ang itong propyedad ay tinatawag na ekstensiyonalidad (Kastila: extensionalidad, Ingles: extensionality) ng mga pangkat.

Ang simpleng konsepto ng isang pangkat ay naging napaka-kapaki-pakinabang sa matematika, pero lumilitaw ang mga kabalintunaan kung walang takda nasa pagpapagawa ng mga pangkat:

• Ang kabalintunaan ni Russell ay ipinapakita na ang "pangkat ng lahat ng mga pangkat na hindi sumasaklaw ng mga mismo", kumbaga Padron:Mset, ay imposible.
• Ang kabalintunaan ni Cantor ay ipinapakita na ang "pangkat ng lahat ng mga pangkat" ay imposible.

Ipinapaliwanag ng intuitibong teorya ng pangkat (Ingles: naive set theory) ang pangkat bilang anumang koleksiyon na maayos na ipinapaliwanag (Ingles: well-defined) na may mga natatanging elemento, pero lumilitaw ang mga problema dahil sa labo ng terminong maayos na ipinapaliwanag.

Aksiyomatikong teorya ng pangkat

Sa kasunod na mga pagsisikap para lutasin ang itong mga kabalintunaan sapul nang orihinal na pormulasyon ng intuitibong teorya ng pangkat, ang mga propyedad ng mga pangkat ay ipinapaliwanag ng mga aksiyoma. Naiintindihan ng aksiyomatikong teorya ng pangkat ang konsepto ng isang pangkat bilang isang primitibong nosyon. Ang layon ng mga aksiyoma ay idulot ang basikong balangkas para hinuhain ang katotohanan o kasinungalingan ng partikular na matematikal na mga proposisyon (mga sabi) tungkol sa mga pangkat, sa pamamagitan ng lohika ng unang orden. Gayunman, ayon sa mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel (Ingles: Gödel's incompleteness theorems), imposible ang paggamit ng lohika ng unang orden para patunayan na anumang aksiyomatikong teorya ng pangkat ay walang kabalintunaan.

Karaniwang ipinapaliwanag ng mga tekstong matematikal ang mga pangkat sa malalaking titik sa italiko, tulag ng A, B, C. Ang isang pangkat ay natatawag din na koleksiyon o pamilya, lalo na kung ang kaniyang mga elementong mismo ay mga pangkat

Notasyong pantala

Sa notasyong pantala (Ingles: roster notation, enumeration notation) ipinapaliwanag ang isang pangkat ng tala ng niyang mga elemento sa pagitan ng mga kulot na panaklong, na hinihiwalayan ng mga kuwit:

Sa isang pangkat, mahalaga lang ang pagkakasama ng bawa't isang elemento, kaya hindi makabuluhan ang pagsasaayos sa notasyong pantala (sa kabilang banda, sa isang sekwensiya, tupla, o permutasyon ng isang pangkat, makahuluhan ang pagsasaayos). Halimbawa, ang Padron:Mset at Padron:Mset ay kinakatawan ang parehong pangkat.

Para sa mga pangkat na may maraming elemento, lalo na kung may implisitong padron, ang tala ng mga miyembro ay maaaring daglatin ng elipsis "..." Halimbawa, ang pangkat ng unang libong positibong buumbilang ay maaaring tukuyin sa notasyong pantala ganito:

Semantikong kahulugan

Ang ibang paraan para ipaliwanag ang isang pangkat ay sa pamamagitan ng isang panuntunan para itakda ang mga elemento:

Ang ganyang kahulugan ay tinatawag na isang semantikong paglalarawan.

Notasyong pampangkat

Tinutukoy ng notasyong pampangkat ang isang pangkat bilang isang pagpili mula sa isang mas malaking pangkat. Ang itong pagpili ay itinatakda ng isang kondisyon sa mga elemento. Halimbawa, isang pangkat ng F ay naipapaliwanag ganito:

$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ ay buumbilang, at }}0\leq n\leq 19\}.}$$

 

Sa itong notasyon, ang bertikal na harang "|" ay nangangahulugan ng "kung saan", at nababasa ang paglalarawan bilang "Ang F ay pangkat ng lahat ng bilang n kung saan n ay buumbilang nasa interbalo mula sa 0 hanggang sa 19, inklusibo". Gumagamit ang ilang mga awtor ng isang tutuldok imbes na bertikal na harang.

Kung ang B ay isang pangkat at ang x ay isang elemento ng B, ito ay sinusulat sa maikling anyo bilang x ∈ B, na nababasa bilang "kinabilangan ng x ang B", o "ang x ay nasa B". Ang sabing "ang y hindi ay elemento sa B" ay sinusulat bilang y ∉ B, na nababasa bilang "y hindi ay nasa B".

Halimbawa, tungkol sa mga pangkat ng A = Padron:Mset, B = Padron:Mset, and F = Padron:Mset,

Ang basyong pangkat ay nag-iisang pangkat na wala mga miyembro. Sinusulat ∅ o ${\displaystyle \emptyset }$  o Padron:Mset o ϕ o (or ϕ).

Kung ang bawa't isang elemento ng pangkat ng A ay din nasa B, inilalarawan na A bilang isang subpangkat ng B, o sinasaklaw sa B, na sinusulat A ⊆ B, o B ⊇ A. Nababasa ang huli na Sumasaklaw ang B ng A, Isinasama ng A ang B, o Ang B ay superpangkat ng A. Ang kaugnayan ng mga pangkat ay tinatawag na pagkakasama o saklaw. Katumbas ang dalawang pangkat kung sumasaklaw ng isa't isa: kung A ⊆ B at B ⊆ A, ay katumbas sa A = B.

Kung ang A ay subpangkat ng B, pero ang A hindi ay katumbas sa B, ang A ay tinatawag isang angkop na subpangkat ng B. Naisusulat ito na A ⊊ B. Gayon din ang B ⊋ A ay nangangahulugan na Ang B ay angkop na superpangkat ng A. Kumbaga, sumasaklaw ang B ang A, at hindi ay katumbas sa A.

Ang pangatlong pares ng mga operador ⊂ at ⊃ ay kakaibang ginagawit ng kakaibang mga awtor: gumamit ang ilang mga awtor ng A ⊂ B at B ⊃ A para ibig sabihin na ang A ay anumang subpangkat ng B (at hindi naman kailangan isang angkop na superpangkat), habang inilalaan ng ibang mga awtor para mga kaso kung saan A ay angkop na subpangkat ng B.

Mga halimbawa:

• Ang pangkat ng lahat ng mga tao ay isang angkop na subpangkat ng pangkat ng lahat ng mamalya.
• Padron:Mset ⊂ Padron:Mset.
• Padron:Mset ⊆ Padron:Mset.

Ang basyong pangkat ay subpangkat ng bawa't isang pangkat, at ang bawa't isang pangkat ay subpangkat ng mismo:

• ∅ ⊆ A.
• A ⊆ A.

 

Napakahahalagang ang ilang mga pangkat sa matematika, kaya ang mga matematiko madalas na tinutukoy ang mga ito, kaya nagtamo ang ganyang mga pangkat ng mga natatanging pangalan at kaugalian para kumilala ng mga ito.

Ang mga itong mahahalagang pangkat ay kinakatawan sa mga tekstong matematikal sa bold (e.g. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ) o bold pampisara (Ingles: blackboard bold, e.g. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ). Sumasaklaw:

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$  o ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , ang pangkat ng lahat ng mga likas na bilang: ${\displaystyle \mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}}$  (madalas na pinapalayas ng mga awtor ang 0);
• ${\displaystyle \mathbf {Z} }$  o ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , ang pangkat ng lahat ng mga buumbilang (kung positibo, negatibo o sero): ${\displaystyle \mathbf {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  o ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , ang pangkat ng lahat ng mga makatwirang bilang (kumbaga, ang pangkat ng lahat ng hatimbilang, parehong angkop at hindi angkop): ${\displaystyle \mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\right\}}$ . Halimbawa, −7/4 ∈ Q at 5 = 5/1 ∈ Q;
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$  o ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ang pangkat ng lahat ng mga tunay na bilang, na sumusuklaw ng lahat ng makatwirang bilang at lahat ng hindi makatwirang bilang (na sumusuklaw ng mga alhebraikong bilang tulad ng ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  na hindi naisusulat bilang mga hatimbilang, at saka mga transendental na bilang tulad ng π and e);
• ${\displaystyle \mathbf {C} }$  o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ang pangkat ng lahat ng mga komplikadong bilang: C = Padron:Mset, halimbawa, 1 + 2i ∈ C.

Ang bawa't isang pangkat sa itaas ay may mga elemento na walang hangganan. Ang bawa't isa ay subpangkat ng mga pangkat na itinatala sa ilalim.

Ang mga pangkat ng mga positibo o negatibong bilang ay minsan na ipinapahiwatig ng ⁺ at ^-. Halimbawa, kinakatawan ng ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$  ang pangkat ng mga positibong makatwirang bilang.

Ang isang punsiyon (o pagmamapa) mula sa isang pangkat ng A hanggang sa isang pangkat ng B ay panuntunan na nagtatalaga sa bawa't isang elementong "input" ng A ng isang "output" na ay isang elemento ng B. Mas pormal na, isang punsiyon ay natatanging uri ng kaugnayan, isa na nag-uugnay ng bawa't isang elemento ng A sa eksakto na isang elemento ng B. Ang isang punsiyon ay tinatawag na:

• inyektibo kung nagmamapa anumang dalawang kakaibang elemento ng A sa kakaibang mga elemento ng B,
• suryektibo kung para bawa't isang elemento ng B, may kahit isa lang elemento ng A na nagmamapa sa ito, at
• biyektibo kung ang punsiyon ay parehong inyektibo at suryektibo — sa itong kaso, bawa't isang elemento ng A ay inirereto sa nag-iisang elemento ng B, at bawa't isang elemento ng B ay inirereto sa nag-iisang elemento ng A, kaya walang elemento na walang kapares.

Ang isang inyektibong punsiyon ay tinatawag na isang inyeksiyon, ang isang suryektibong punsiyon ay tinatawag na isang suryeksiyon, at ang isang biyektibong punsiyon ay tinatawag na isang biyeksiyon o isa-sa-isang tugma.

Ang kardinalidad ng isang pangkat ng S, na sinusulat na Padron:Mabs, ay dami ng mga miyembro ng S. Halimbawa, kung Padron:Mset}}, ang kardinalidad ay 3: Padron:Mabs = 3. Sa notasyong pantala, ang mga miyembro na inuulit hindi ay ibinibilang, kaya Padron:Mabs = 3 din.

Mas pormal na, nagkakaroon ang dalawang pangkat ng parehong kardinalidad kung may isa-sa-isang tugma sa pagitan ng nila.

Ang kardinalidad ng basyong pangkat ay sero.

Ang kapangyarihang pangkat ng isang pangkat ng S ay pangkat ng lahat ng mga subpangkat ng S. Ang basyong pangkat at S mismo ay mga elemento ng kapangyarihang pangkat ng S, dahil sila ay parehong mga subpangkat ng S. Halimbawa, ang kapangyarihang pangkat ng Padron:Mset ay Padron:Mset. Ang kapangyarihang pangkat ng isang pangkat ng S ay madalas na isinusulat na P(S) o 2^S.

Kung nagkakaroon ang S ng n elemento, nagkakaroon ang P(S) ng 2ⁿ elemento. Halimbawa, nagkakaroon ang Padron:Mset ng tatlong elemento, at nagkakaroon ang kaniyang kapangyarihang pangkat ng 2³ = 8 elemento, bilang ipinakita sa itaas.

Kung ang S ay impinito (kung naililista o hindi), ang P(S) hindi ay naililista. Saka, laging "mas malaki" ang kapangyarihang pangkat kaysa sa orihinal na pangkat, sa muwang na ang anumang tangka para parisan ang mga elemento ng S sa mga elemento ng P(S) ay mag-iiwan ng ilang mga elemento ng P(S) na walang pares. (Hindi kailanman may isang biyeksiyon mula sa S hanggang sa P(S).)

Ang isang partisyon ng isang pangkat ng S ay isang pangkat ng mga di-basyong pangkat ng S, kung saan bawa't isang x nasa S ay nasa eksakto isa sa mga ito subpangkat.

Nasa lahat ng dako ng makabagong matematika ang mga pangkat. Halimbawa, ang mga alhebraikong istruktura sa alhebrang basal, tulad ng mga grupo, kampo, at singsing, ay nakasarang pangkat sa ilalim ng isa o higit pang mga operasyon.

Ang isa sa pangunahing mga aplikasyon sa intuitibong teorya ng pangkat ay konstruksiyon ng mga kaugnayan. Ang isang kaugnayan mula sa isang sakop ng A hanggang sa kasakop ng B ay subpangkat ng produktong Cartesiang A × B. Halimbawa, pagdating sa pangkat ng S = Padron:Mset ng mga hugis sa laro ng mismong pangalan, ang kaugnayang "tumatalo" mula sa S hanggang sa S ay pangkat ng B = Padron:Mset. Kaya tumatalo ang x ng y sa laro kung ang pares ng (x,y) ay miyembro ng B. Ang ibang halimbawa ay pangkat ng F ng lahat ng mga pares ng (x, x²), where x ay tunay. Ang itong kaugnayan ay isang subpangkat ng R × R, kasi ang pangkat ng lahat ng mga parirami ay isang subpangkat ng pangkat ng lahat ng tunay na bilang. Dahil para bawa't isang x sa R, may isa at lang isang pares (x,...) sa F, ang itong kaugnayan ay tinatawag na isang punsiyon. Sa notasyong pampunsiyon, ang itong kaugnayan ay nasusulat na F(x) = x².