Олонлог

Олонлогт агуулагдах юмсыг элемент гэдэг.

Олонлог нь олонлогийн онол төдийгүй орчин үеийн математикийн шинжлэх ухааны бүх салбарт чухалд тооцогддог, үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд орчин үеийн математик нь үндсэндээ олонлог ба буулгалтын хэлээр бичигддэг гэж хэлэхэд болох юм.

Олонлог гэдэг нь "юмс"-ын "цуглуулга" юм. Олонлогийн элементүүд нь тоо, үсэг, тэмдэг, тэр ч бүү хэл олонлогууд хүртэл юу ч байж болно.

Нөгөө талаар, "цуглуулга"-ыг олонлог гэж дуудахын тулд ямар нэг юм нь тухайн олонлогийн элемент мөн эсэхийг нэг утгатайгаар тодорхойлорх боломжтой байх ёстой.

Гол өгүүлэл: Дэд олонлог

Олонлог ба элемент, олонлог ба олонлогийн хооронд агуулагдах, харьяалагдах гэсэн энгийн хамаарлыг тодорхойлох боломжтой. a нь A олонлогийн элемент бол "a нь A олонлогт харьяалагдана", "A олонлог нь a элементийг агуулна" хэмээгээд a ∈ A гэж тэмдэглэнэ.

2 олонлог A, B-гийн хувьд A-д харьяалагддаг бүх элемент нь B-д бас харьяалагддаг, өөрөөр хэлбэл a ∈ A ⇒ a ∈ B нь a-г хэрхэн сонгохоос хамаарахгүйгээр биелж байвал "A нь B-гийн дэд олонлог болно", "A нь B-д агуулагдана", "B нь A-г агуулна" хэмээгээд A ⊂ B буюу A ⊆ B гэж тэмдэглэнэ.

Нэг ч элементгүй олонлогийг хоосон олонлог гээд ${\displaystyle \emptyset }$  гэж тэмдэглэнэ. Хоосон олонлог нь бүх олонлогийн дэд олонлог болно.

2 олонлогийн бүх элементүүд нь давхцаж байвал, өөрөөр хэлбэл 2 олонлог бие биеэ агуулж байвал тухайн 2 олонлогийг тэнцүү олонлогууд гэнэ. A ба B олонлогууд тэнцүү болохыг A = B гэж тэмдэглэнэ.

Тэнцүү олонлогуудын хувьд дараах тэнцэтгэлүүд биелнэ:

A = B ⇔ A ⊆ B ба A ⊇ B.

Олонлогийг тэмдэглэх олон янзын арга бий. Юун түрүүнд олонлогийн бүх элементийг дараалуулан бичиж болно. Жишээлбэл, 10-аас ихгүй натуртоонуудаас сондгой тоонуудыг агуулдаг олонлог нь

${\displaystyle \{1,3,5,7,9\}}$ 

гэж тэмдэглэгдэнэ. Энд олонлогийн элементүүдийн дарааллыг өөрчилж, яг адилхан зүйлийг дахин нэмсэн ч уг олонлог нь өөрчлөгдөхгүй:

${\displaystyle \{1,2,5,7,10\}=\{5,1,7,2,1,5,10,2\}.}$ 

Мөн тухайн олонлогийн элементүүдийн биелүүлэх ёстой нөхцлийг зааж өгөх аргаар тэмдэглэж болно.

N нь бүх натурал тооны олонлог.
N-ийн элементүүд нь натурал тоонууд бөгөөд бүх натурал тоонууд N-д харьяалагдана.

x нь ямар нэг олонлогт харьяалагдах нөхцөл нь P(x) байвал тухайн олонлогийг {x | P(x)} гэж тэмдэглэж болно. Өөрөөр хэлбэл

${\displaystyle S=\{x|P(x)\}}$ 

гэж бичвэл S нь P(x) нөхцлийг хангах бүх x-ээс бүрдсэн олонлог гэж ойлгоход болно. Энд "|" -ийн оронд ":"-г хэрэглэх тохиолдол бий.

${\displaystyle S=\{x\colon P(x)\}.}$ 

A = {0,1,2,3,4,5},
B = {n | n ∈ N, n ≤ 5 } гэж бичигдсэн хоёр олонлог нь тэнцүү юм: A = B.

Төгсгөлөг тооны элементээс тогтох олонлогийг төгсгөлөг олонлог (finite set) хэмээх бөгөөд төгсгөлөг олонлог A-гийн элементүүдийн тоог #(A), |A|, card(A) гэх зэргээр тэмдэглэдэг. Төгсгөлөг биш олонлогийг төгсгөлгүй олонлог (infinite set) гэнэ.

Гол өгүүлэл: Олонлогийн алгебр, Нийлбэр олонлог, Үржвэр олонлог, Ялгавар олонлог, ба Олонлогуудын шулуун үржвэр

Хэд хэдэн олонлогийн хоорондын хамаарлыг судлахад тэдгээр олонлогоос шинэ олонлогийг үүсгэж, түүнийгээ судлах нь үр дүнтэй аргуудын нэг юм.

• Буулгалт
• Олонлогийн онол
• Теорем