Conxuntu: Conceutu matemáticu fundamental de pertenencia o inclusión

Los elementos d'un conxuntu, pueden ser les siguientes: persones, númberos, colores, lletres, figures, etc. Dizse qu'un elementu (o miembru) pertenez al conxuntu si ta definíu como incluyíu de dalguna manera dientro d'él.

Conxuntu
metaclase y conceutu matemáticu
clase, formalización (es) y multiconjunto (es)

Exemplu: el conxuntu de los colores del arcu la vieya ye:

AI = {Colloráu, Naranxa, Mariellu, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conxuntu suel definise por aciu una propiedá que tolos sos elementos tienen. Por casu, pa los númberos naturales, si considérase la propiedá de ser un númberu primu, el conxuntu de los númberos primos ye:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conxuntu queda definíu namái polos sos miembros y por namás. En particular, un conxuntu puede escribise como una llista d'elementos, pero camudar l'orde de dicha llista o añader elementos repitíos nun define un conxuntu nuevu. Por casu:

S = {Llunes, Martes, Miércoles, Xueves, Vienres} = {Martes, Vienres, Xueves, Llunes, Miércoles}
AI = {Colloráu, Naranxa, Mariellu, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Mariellu, Naranxa, Colloráu, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conxuntos pueden ser finitos o infinitos. El conxuntu de los númberos naturales ye infinitu, pero'l conxuntu de los planetes nel Sistema Solar ye finito (tien ocho elementos). Amás, los conxuntos pueden combinase por aciu operaciones, de manera similar a les operaciones con númberos.

Los conxuntos son un conceutu primitivu, nel sentíu de que nun ye posible definilos en términos de nociones más elementales, polo que'l so estudiu puede realizase de manera informal, apelando a la intuición y a la lóxica. Per otru llau, son el conceutu fundamental de la matemática: por aciu ellos puede formulase'l restu d'oxetos matemáticos, como los númberos y les funciones, ente otros. El so estudiu detalláu riqui pos la introducción d'axomes y conduz a la teoría de conxuntos.

El conceutu de conxuntu como oxetu astractu nun empezó a emplegase en matemátiques hasta'l sieglu XIX, a midida que estenábense les duldes sobre la noción d'infinitu. Los trabayos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann yá conteníen idees rellacionaes con una visión conjuntista de la matemática. Les contribuciones de Richard Dedekind a la álxebra taben formulaes en términos claramente conjuntistas, qu'entá prevalecen na matemática moderna: rellaciones d'equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mesmu explicitó les hipótesis y operaciones relatives a conxuntos que precisó nel so trabayu.

La teoría de conxuntos como disciplina independiente atribúyese usualmente a Georg Cantor el gran creador de les matematicas. Empezando coles sos investigaciones sobre conxuntos numbéricos, desenvolvió un estudiu sobre los conxuntos infinitos y les sos propiedaes. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del sieglu XIX, nel procesu de «axiomatización» de la matemática, nel que tolos oxetos matemáticos, como los númberos, les funciones y les diverses estructures, fueron construyíos con base nos conxuntos.

Un conxuntu ye una coleición bien definida d'oxetos, entendiendo que dichos oxetos pueden ser cualquier cosa: númberos, persones, lletres, otros conxuntos, etc. Dalgunos exemplos son:

A ye'l conxuntu de los númberos naturales menores que 5.
B ye'l conxuntu de los colores verde, blancu y colloráu.
C ye'l conxuntu de les vocales a, y, i, o y o.
D ye'l conxuntu de los palos de la baraxa francesa.

Los conxuntos se denotan davezu por lletres mayúscules. Los oxetos que componen el conxuntu llámense elementos o miembros. Dizse que «pertenecen» al conxuntu y se denota por aciu el símbolu ∈: la espresión a ∈ A lléese entós como «a ta en A», «a pertenez a A», «A contién a a», etc. Pa la noción contraria úsase'l símbolu ∉. Por casu:

3 ∈ A , ♠ ∈ D
mariellu ∉ B, z ∉ C

Notación

 

Esisten delles maneres de referise a un conxuntu. Nel exemplu anterior, pa los conxuntos A y D úsase una definición intensiva o por comprensión, onde s'especifica una propiedá que tolos sos elementos tienen. Sicasí, pa los conxuntos B y C úsase una definición estensiva, listando tolos sos elementos explícitamente.

Ye habitual usar llaves pa escribir los elementos d'un conxuntu, de cuenta que:

B = {verde, blancu, colloráu}
C = {a, e, i, o, u}

Esta notación por aciu llaves tamién s'utiliza cuando los conxuntos especificar de forma intensiva por aciu una propiedá:

A = {Númberos naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraxa francesa}

Otra notación habitual pa denotar por comprensión ye:

A = {m : m ye un númberu natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p ye un palu de la baraxa francesa}
F = {n² : n ye un enteru y 1 ≤ n ≤ 10},

Nestes espresiones los dos puntos («:») signifiquen «tal que». Asina, el conxuntu F ye'l conxuntu de «los númberos de la forma n² tal que n ye un númberu natural ente 1 y 10 (dambos inclusive)», esto ye, el conxuntu de los diez primeros cuadraos de númberos naturales. En llugar de los dos puntos utilízase tamién la barra vertical («|») o oblicua «/» .

Igualdá de conxuntos

 

Un conxuntu ta totalmente determináu polos sos elementos. Por ello, la igualdá de conxuntos establezse como:

Esta propiedá tien delles consecuencies. Un mesmu conxuntu puede especificase de munches maneres distintessobremanera estensives o intensives. Por casu, el conxuntu A de los númberos naturales menores que 5 ye'l mesmu conxuntu que A′, el conxuntu de los númberos 1, 2, 3 y 4. Tamién:

B = {verde, blancu, coloráu} = {colores de la bandera de Méxicu}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraxa francesa} = {♠, &clubes;, ♥, ♦}

L'orde nel que se precisen los elementos tampoco se tien en cuenta pa comparar dos conxuntos:

B = {verde, blancu, colloráu} = {coloráu, verde, blancu}
C = {a, e, i, o, u} = {y, i, o, a, o}

Amás, un conxuntu nun puede tener elementos «repitíos», una y bones un oxetu solo puede o bien ser un elementu de dichu conxuntu o nun selo. Dase entós que, por casu:

{1, 2} = {1, 2, 1}

N'ausencia de dalguna carauterística adicional qu'estreme los «1» repitíos, lo únicu que puede dicir se del conxuntu de la derecha ye que «1» ye unu de los sos elementos.

Conxuntu vacíu

El conxuntu que nun contién nengún elementu llámase'l conxuntu vacíu y se denota por ${\displaystyle \emptyset }$  o a cencielles {}. Dalgunes teoríes axomátiques de conxuntos aseguren que'l conxuntu vacíu esisti incluyendo un axoma del conxuntu vacíu. N'otres teoríes, la so esistencia puede deducise. Munches posibles propiedaes de conxuntos son trivialmente válides pal conxuntu vacíu.

Propiedaes

Na teoría de conxuntos axomática estándar, pol Axoma de extensionalidad, dos conxuntos son iguales si tienen los mesmos elementos; polo tanto namái puede haber un conxuntu ensin nengún elementu. Poro, namái hai un únicu conxuntu vacíu, y falamos de "el conxuntu vacíu" en llugar de "un conxuntu vacíu".

Pa cualquier conxuntu A:

(Ver operaciones con conxuntos)

• El conxuntu vacíu ye un subconxuntu de A:
  ${\displaystyle \forall A:\emptyset \subseteq A}$ 
• La unión de A col conxuntu vacíu ye A:
  ${\displaystyle \forall A:A\cup \emptyset =A}$ 
• La interseición de A col conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
  ${\displaystyle \forall A:A\cap \emptyset =\emptyset }$ 
• El productu cartesianu d'A y el conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
  ${\displaystyle \forall A:A\times \emptyset =\emptyset }$ 

El conxuntu vacíu tien les siguientes propiedaes:

• El so únicu subconxuntu ye'l mesmu conxuntu vacíu:
  ${\displaystyle \forall A:A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset }$ 
• El "conxuntu de poder" del conxuntu vacíu ye'l conxuntu que contién namái'l conxuntu vacíu:
  ${\displaystyle 2^{\emptyset }=\{\emptyset \}}$ 
• El so númberu d'elementos (cardinalidad) ye cero:
  ${\displaystyle \mathrm {card} (\emptyset )=0}$ 

(La llista de símbolos matemáticos emplegaos atópase equí).

Subconxuntos

 

Un subconxuntu A d'un conxuntu B, ye un conxuntu que contién dalgunos de los elementos de B (o quiciabes toos):

Cuando A ye un subconxuntu de B, se denota como A ⊆ B y dizse que «A ta conteníu en B». Tamién puede escribise B ⊇ A, y dicise que B ye un superconjunto de A y tamién «B contién a A» o «B inclúi a A».

Tou conxuntu A ye un subconxuntu de sigo mesmu, yá que siempres se cumple que «cada elementu de A ye de la mesma un elementu de A». Ye habitual establecer una distinción más fina por aciu el conceutu de subconxuntu propiu: A ye un subconxuntu propiu de B si ye un subconxuntu de B pero nun ye igual a B. Se denota como A ⊊ B, esto ye: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, pa un superconjunto propiu, B ⊋ A).

Exemplos.

El conxuntu de tolos homes» ye un subconxuntu propiu del conxuntu de toles persones».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Conxuntos dixuntos

Dos conxuntos A y B son dixuntos si nun tienen nengún elementu de mancomún. Por casu, los conxuntos de los númberos racionales y los númberos irracionales son dixuntos: nun hai nengún númberu que seya al empar racional ya irracional. La interseición de dos conxuntos dixuntos ye'l conxuntu vacíu.

Los conxuntos pueden ser finitos o infinitos. Nel casu d'un conxuntu finito pueden cuntase los elementos del conxuntu:

El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Asina, nos exemplos anteriores, tiense que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (trés colores) y |F| = 10 (diez cuadraos). L'únicu conxuntu que'l so cardinal ye 0 ye'l conxuntu vacíu ∅.

Esisten, de la mesma, determinaes propiedaes de cardinalidad. Si tomamos como exemplu dos conxuntos, A y B:

1. ${\displaystyle n(\phi )=0}$ 
2. ${\displaystyle A=B\Rightarrow n(A)=n(B)}$ 
3. ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow n(A)\leq n(B)}$ 
4. ${\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)}$ 
5. ${\displaystyle n(O)=n(A)+n(A^{c})}$ 
6. ${\displaystyle n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)}$ 

Y en el casu de trés conxuntos, A, B y C:

1. ${\displaystyle n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$ 
2. ${\displaystyle n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$ 
3. ${\displaystyle n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)}$ 
4. ${\displaystyle n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$ 

Nun conxuntu infinitu nun hai un númberu finito d'elementos. Ye'l casu por casu de los númberos naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sicasí, esiste una manera de comparar conxuntos infinitos ente sigo, y llógrase qu'esisten conxuntos infinitos «más grandes» qu'otros. El númberu d'elementos» d'un conxuntu infinitu ye un númberu transfinito.

Cardinalidad de los reales

Unu de los resultaos más importantes de Georg Cantor foi que la cardinalidad de los reales (${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ) ye más grande que la de los númberos naturales (${\displaystyle \aleph _{0}}$ ). Esto ye, qu'hai más númberos reales R que númberos enteros N. Concretamente, Cantor amosó que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$ 

La hipótesis del continuu afirma que nun esisten conxuntos con cardinalidades entemedies ente los naturales y los reales:

• Nun esiste nengún conxuntu A tal que'l so cardinal |A| cumpla:

${\displaystyle \aleph _{0}<|A|<2^{\aleph _{0}}}$ 

Si asume'l axoma d'eleición, la estructura de los cardinales infinitos ye más clara: tolos cardinales infinitos son álefs y tán bien ordenaos, polo qu'esiste namái un cardinal darréu cimeru a ℵ₀, denotado por ℵ₁. La hipótesis ye equivalente entós a:

• El cardinal del conxuntu de los númberos reales ye'l darréu cimeru al cardinal de los númberos naturales:

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ 

Operaciones con conxuntos

 

Unión

 

Interseición

 

Estrema

 

Complemento

 

Diferencia simétrica

Esisten delles operaciones básiques que pueden realizase, partiendo de ciertos conxuntos daos, pa llograr nuevos conxuntos:

• Unión: (símbolu ∪) La unión de dos conxuntos A y B, que se representa como A ∪ B, ye'l conxuntu de tolos elementos que pertenecen siquier a unu de los conxuntos A y B.
• ${\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}$ 
• Interseición: (símbolu ∩) La interseición de dos conxuntos A y B ye'l conxuntu A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
• ${\displaystyle A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}}$ 
• Estrema: (símbolu \) La estrema del conxuntu A con B ye'l conxuntu A \ B que resulta d'esaniciar de A cualquier elementu que tea en B.
• Complementu: El complementu d'un conxuntu A ye'l conxuntu A^∁ que contién tolos elementos que nun pertenecen a A, al respective de un conxuntu O que lo contién.
• ${\displaystyle A^{c}=\{x/x\in O\land x\not \in A\}}$ 
• Diferencia simétrica: (símbolu Δ) La diferencia simétrica de dos conxuntos A y B ye'l conxuntu A Δ B con tolos elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero non a dambos al empar.
• Productu cartesianu: (símbolu ×) El productu cartesianu de dos conxuntos A y B ye'l conxuntu A × B de tolos pares ordenaos (a, b) formaos con un primer elementu a perteneciente a A, y un segundu elementu b perteneciente a B.

Exemplos

• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

Notes

Referencies

Bibliografía

• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996). What is Mathematics? An Elementary Approach to Idees and Methods (n'inglés). Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplementu del capítulu II.
• Lóxica y teoría de conxuntos, http://www.uv.es/ivorra/Llibros/Logica.pdf, consultáu'l 18 d'abril de 2011 .
• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): «Set Theory» (inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultáu'l 22 d'abril de 2011.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conxuntos y temes allegaes. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
• Nachbin, Leopoldo : Álxebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César Y. Silva.

Bibliografía adicional

• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conxuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. Méxicu 22, D.F. primer edición n'español.

Enllaces esternos

•   Wiki Commons acueye conteníu multimedia sobre Conxuntos.
• Weisstein, Eric W. «Set» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Esta obra remanez de la traducción de Set de Wikipedia - inglés, espublizada polos sos editores baxo la Llicencia de documentación llibre de GNU y la Llicencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.