Գունդ

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գունդ (այլ կիրառումներ)

Անալիտիկ երկրաչափության տեսակետից ոլորտը 2-րդ կարգի կենտրոնավոր մակերևույթ է, որի հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում ունի

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}}$ 

տեսքը, որտեղ a, b, c-ն ոլորտի կենտրոնի կոորդինատներն են։

Մակերևույթի մակերեսը	${\displaystyle S_{O}\,=\,4\pi r^{2}}$
Ծավալը	${\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
Սեգմենտի ծավալը	${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}$
Իներցիայի մոմենտը	${\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$ 

Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։

 

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

 

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ ${\displaystyle S=2\pi Rh}$  որտեղ ${\displaystyle R}$ -ը գնդի շառավիղն է, ${\displaystyle h}$ -ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը, ${\displaystyle \pi }$ -ն մոտավորապես հավասար է 3.14։ Եթե գնդի շառավիղը ${\displaystyle R}$  է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը՝ ${\displaystyle h}$ , ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h}$  բանաձևով։

Թեորեմ

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում, եթե գնդի շառավիղը հավասար է ${\displaystyle R}$ , իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է ${\displaystyle d}$ , ապա հատույթի շառավիղը հավասար է ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-d^{2}}}}$ ։

 

Դիցուք ${\displaystyle O}$ -ն գնդի կենտրոնն է, ${\displaystyle O'}$ -ը գնդի կենտրոնի պրոյեկցիան է հատույթի հարթության վրա, ${\displaystyle OO'=|x|}$ , ${\displaystyle A}$ -ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված ${\displaystyle OO'A}$  եռանկյունում ${\displaystyle \angle OO'A=90^{\circ }}$  ։ Հետևաբար ${\displaystyle O'A={\sqrt {OA^{2}-O'O^{2}}}}$  ${\displaystyle ={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}}$ ։ Այստեղից հետևում է, որ ${\displaystyle A}$ -ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած ${\displaystyle O'}$  կենտրոնով և ${\displaystyle r}$  շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։

• Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է ներգծված բազմանիստին։

• Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է արտագծված բազմանիստին։

• Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
• Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
• Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։