Matematiikka Kuula

Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos ${\textstyle (X,d)}$ on metrinen avaruus sekä ${\textstyle \mathbf {a} \in X}$ ja ${\textstyle r>0}$, niin joukko

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)$

on avoin kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$ sekä

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)\leq r\right\}}$

on suljettu kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$. Lisäksi määritellään joukko

${\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)=r\right\}}$,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa ${\textstyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ sanotaan myös pisteen ${\textstyle \mathbf {a} }$ kuulaympäristöksi.

Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=B\left(\mathbf {a} ,r\right)\cup S\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ 

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus S\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ 

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

${\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ 

Metriikan määritelmästä johtuen ${\textstyle d\left(\mathbf {a} ,\mathbf {a} \right)=0}$ , joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

${\displaystyle \mathbf {a} \in B\left(\mathbf {a} ,r\right)\subset {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ 

Metrisen avaruuden ${\textstyle (X,d)}$  osajoukossa ${\textstyle A\subset X}$  avointa kuulaa merkitään ${\textstyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ :llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon ${\textstyle A}$ . Toisin sanoen ${\textstyle \mathbf {x} \in B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ , jos ja vain, jos ${\textstyle \mathbf {x} \in A}$  (ja ${\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)$ ). Näin ollen

${\displaystyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ .

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:

${\displaystyle {\bar {B}}_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ .

Avoin ja suljettu väli

Avaruudessa ${\textstyle \mathbb {R} }$ , varustettuna metriikalla ${\textstyle d(x,y)=|x-y|}$ , on avoin kuula ${\displaystyle B\left(a,r\right)}$  avoin väli:

${\displaystyle B\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|$ 

Vastaavasti suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)}$  on suljettu väli:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|\leq r\right\}=[a-r,a+r]}$ 

Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:

${\displaystyle S(a,r)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|=r\right\}=\left\{a-r,a+r\right\}}$ 

Kiekko ja kuula

Varustetaan avaruus ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$  metriikalla ${\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}}}$ . Jos ${\displaystyle n=2}$ , niin avoin kuula ${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$  on reunaton kiekko:

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}$ 

Vastaavasti suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$  on kiekko:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}\leq r^{2}\right\}}$ 

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(0,1\right)}$ . Jos ${\displaystyle n=3}$ , niin suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$  on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}\leq r^{2}\right\}}$ 

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo ${\displaystyle S(0,1)}$ .

{0,1}-metriikan kuula

Olkoon ${\displaystyle X}$ mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

${\displaystyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\begin{cases}0,&{\text{jos}}~\mathbf {x} =\mathbf {y} \\1,&{\text{jos}}~\mathbf {x} \neq \mathbf {y} \end{cases}}}$ 

Tällöin

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\begin{cases}\{\mathbf {a} \},&{\text{jos}}~r\leq 1\\X,&{\text{jos}}~r>1\end{cases}}}$