Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.
Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.
A hipervolume da esfera unitária (n–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por An, pode ser expressa da forma
onde a última igualdade vale para n > 0.
As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:
(área da superfície)
(volume)
0
0
1
1
2
2
2
6.283
3.141
3
12.57
4.189
4
19.74
4.935
5
26.32
5.264
6
31.01
5.168
7
33.07
4.725
8
32.47
4.059
9
29.69
3.299
10
25.50
2.550
onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.
A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é Anrn−1 e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é Vnrn. Particularmente, a área é A = 4πr 2 para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4πr 3 / 3 para a bola tridimensional de raio r.
Referências
Bibliografia
Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
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