Գաուս-Զեյդելի Մեթոդ

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը՝

${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$ , где ${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right),\quad {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)}$ 

կամ

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}$ 

և ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այն Գաուս-Զեյդելի մեթոդով։

Մեթոդի էությունը պարզաբանելու համար առաջադրանքը գրենք հետևյալ տեսքով՝

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}a_{11}x_{1}&=&-a_{12}x_{2}-a_{13}x_{3}-\ldots -a_{1n}x_{n}+b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=&-a_{23}x_{3}-\ldots -a_{2n}x_{n}+b_{2}\\\ldots &&\\a_{(n-1)1}x_{1}+a_{(n-1)2}x_{2}+\ldots +a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1}&=&-a_{(n-1)n}x_{n}+b_{n-1}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{n(n-1)}x_{n-1}+a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}$ 

Այստեղ ${\displaystyle j}$ -րդ հավասարումում մենք աջ մաս տեղափոխեցինք բոլոր այն ${\displaystyle x_{i}}$  անդամները, որտեղ բավարարում էր ${\displaystyle i>j}$  պայմանը։ Այս գրառումը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով՝

${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}=-\mathrm {U} \,{\vec {x}}+{\vec {b}},}$ 

որտեղ ընդունված նշանակումներով ${\displaystyle \mathrm {D} }$ -ն մատրից է, որում գլխավոր անկյունագծի վրա գրված են ${\displaystyle A}$  մատրիցի համապատասխան անդամները, իսկ մնացած անդամները զրոներ են, այնինչ ${\displaystyle \mathrm {U} }$  և ${\displaystyle \mathrm {L} }$  մատրիցները պարունակում են ${\displaystyle A}$  մատրիցի վերևի և ներքևի եռանկյունային մասերը, որոնց գլխավոր անկյունագծի վրա զրոներ են։ Գաուս-Զեյդելի մեթոդում իտերացիոն պրոցեսը ստեղծվում է հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k)}+{\vec {b}},\quad k=0,1,2,\ldots }$ 

համապատասխան ${\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}}$  սկզբնական մոտարկման ընտրությամբ։

Գաուս-Զեյդելի մեթոդը կարելի է դիտարկել որպես Յակոբիի մեթոդի մոդիֆիկացիա։ Մոդիֆիկացիայի հիմնական գաղափարը կայանում է նրանում, որ այստեղ ${\displaystyle {\vec {x}}^{(i)}}$  նոր արժեքները օգտագործվում են անմիջապես ստանալուց հետո, այնինչ Յակոբիի մեթոդում այն չի օգտագործվում մինչև հաջորդ իտերացիան՝

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccccccccccc}{x_{1}}^{(k+1)}&=&c_{12}{x_{2}^{(k)}}&+&c_{13}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{1n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{1}\\{x_{2}}^{(k+1)}&=&c_{21}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{23}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{2n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{2}\\\ldots &&&&&&&&&&\\{x_{n}}^{(k+1)}&=&c_{n1}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{n2}{x_{2}^{(k+1)}}&+&{\ldots }&+&c_{n(n-1)}{x_{n-1}}^{(k+1)}&+&d_{n}\end{array}}\right.,}$ 

որտեղ

${\displaystyle c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases}}\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.}$ 

Այսպիսով, ${\displaystyle i}$ -րդ կոմպոնենտի ${\displaystyle (k+1)}$ -րդ մոտարկման հաշվարկը կատարվում է

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n}$ 

բանաձևով։

Օրինակ, ${\displaystyle n=3}$ -ի դեպքում`

${\displaystyle x_{1}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{1-1}c_{1j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=1}^{3}c_{1j}x_{j}^{(k)}+d_{1}}$ , այսինքն ${\displaystyle x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13}x_{3}^{(k)}+d_{1},}$ 
${\displaystyle x_{2}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{2-1}c_{2j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=2}^{3}c_{2j}x_{j}^{(k)}+d_{2}}$ , այսինքն ${\displaystyle x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{23}x_{3}^{(k)}+d_{2},}$ 
${\displaystyle x_{3}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{3-1}c_{3j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=3}^{3}c_{3j}x_{j}^{(k)}+d_{3}}$ , այսինքն ${\displaystyle x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}:}$ 

Բերենք զուգամիտության մեթոդի բավարար պայման։

Թեորեմ. Դիցուկ ${\displaystyle \|\mathrm {A} _{2}\|<1}$ , որտեղ ${\displaystyle \mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}}$  մատրիցն հակադարձ է ${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} )}$  մատրիցին։ Այդ դեպքում ցանկացած ${\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}}$  սկզբնական մոտարկման ընտրության դեպքում՝ Գաուս-Զեյդելի մեթոդը զուգամիտում է, մեթոդի զուգամիտության արագությունը հավասար է երկրաչափական պրոգրեսիայի զուգամիտության արագությանը ${\displaystyle q=\|\mathrm {A} _{2}\|}$  հայտարարով, ճիշտ է ${\displaystyle \|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0)}-{\vec {x}}\|}$  գնահատման սխալը։

Զեյդելի պրոցեսի իտերացիայի ավարտի պայմանը անհրաժեշտ ${\displaystyle \varepsilon }$  ճշգրտության դեպքում կրճատ ձևով ունի այսպիսի տեսք՝

${\displaystyle \parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \leq \varepsilon }$ 

Իտերացիոն պրոցեսի առավել ճշգրիտ պայմանը ունի այսպիսի տեսք՝

${\displaystyle \parallel Ax^{(k)}-b\parallel \leq \varepsilon }$ 

և պահանջում է ավելի շատ հաշվարկներ։ Այն բավականին հարմար է կտրտված մատրիցների համար։

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Պարզ իտերացիայի մեթոդ
• Յակոբիի մեթոդ
• Բանախի թեորեմ
• Իտերացիայի մեթոդ