Fibonacciren Zenbakiak

Segida horri Fibonacciren segida deritzogu. Fibonacciren segida, segida errepikari bat da, hau da, segidako gai bakoitzaren balioa aurrekoen menpe egongo da. Ondorengoa da Fibonacciren segidaren adierazpen orokorra:

${\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0{\mbox{ bada}}\\1&n=1{\mbox{ bada}}\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1{\mbox{ bada}}\\\end{cases}}}$

Alegia, hasierako bi balioen ondoren, gai bakoitzaren balioa aurreko bien batura izango da.

Fibonacciren segidako lehenengo gaien balioak honako hauek dira:

${\displaystyle F_{n}=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...\}}$

Fibonacciren segidaren jatorrizko definizioan, Fibonaccik ez zuen kontuan hartu ${\displaystyle F_{0}=0}$ terminoa eta zuzenean ${\displaystyle F_{1}=1}$ eta ${\displaystyle F_{2}=2}$ zenbakiak definitu zituen segidaren lehenengo eta bigarren termino gisa, hurrenez hurren. Fibonacciren zenbakiak estuki erlazionaturik daude urrezko zenbakiarekin: Bineten formulak n-garren Fibonacciren zenbakia n zenbakiaren eta urrezko zenbakiaren funtzioan adierazten du. Artikuluan aurrerago ikusiko dugun bezala, Bineten formulari esker, Fibonacciren ondoz-ondoko bi zenbakien arteko zatidura urrezko zenbakira gerturatzen dela ondoriozta daiteke, n-ren balioa handitzen doan heinean.

Fibonacciren zenbakiak Pisako Leonardo (Fibonacci bezala ere ezaguna zen) matematikari italiarraren omenez deitzen dira. 1202. urtean argitaratu zuen idazlanari esker, Liber Abaci, Fibonaccik bere segida mendebaldeko europako matematikan uztartu ahal izan zuen. Nolanahi ere, komenigarria da aipatzea ordurako segida hori matematikari indiar batzuek deskribatu zutela (K.a. 200. urtean).

Fibonacciren zenbakiak ustekabean agertzen dira lotura zuzen bat ez duten matematikako leku ezberdinetan (adibidez, Pascalen hirukian). Hain sarritan agertzen dira matematikan, ezen zenbaki hauek aztertzeaz arduratzen den ikerketa talde bat existitzen baita, Fibonacci Quarterly bezala ere ezaguna.

Fibonacciren zenbakien aplikazio ezberdinen artean, esate baterako, ordenagailuentzako algoritmoen diseinua aipa daiteke. Algoritmo horien adibide esanguratsu batzuk izan daitezke Fibonacciren bilaketa teknika eta Fibonacciren pilaketa informazio egituratzeko teknikak, edota Fibonacciren kuboak deituriko grafoak, zeinen helburua paraleloak eta banatuak dauden sistemak interkonektatzea den.

Fibonacciren zenbakiak sarritan agertzen dira kontestu biologikoetan. Zuhaitz baten adarren sorkuntzan, landare bateko hostoen antolaketan edota orburu baten loraldian, besteak beste. Keplerrek berak baieztatu zuen Fibonacciren zenbakien presentzia naturan handia dela eta hori bera erabili zuen lore batzuek duten forma pentagonala azaltzeko.

Segidaren forma esplizitua

Koefiziente konstanteko errekurtsio linealetan gertatzen den antzera, Fibonacciren segida formula esplizitu baten bidez defini daiteke. Fibonacciren segidaren kasurako, formula hori Bineten Formula bezala ere ezaguna da. Formula hori aztertu zuten lehengoak Abraham de Moivre eta Daniel Bernoulli izan baziren ere, Jacques Philippe Marie Binet matematikari frantsesaren omenez izendatu zen formula.

${\displaystyle F_{n}={\varphi ^{n}-\psi ^{n} \over \varphi -\psi }={\varphi ^{n}-\psi ^{n} \over \surd 5}}$  non ${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.61803398887...}$  urrezko zenbakia den.

${\displaystyle \psi =1-\varphi =-{1 \over \varphi }={1-{\sqrt {5}} \over 2}\approx -0.6180339887...}$  da.

${\displaystyle \psi =-{1 \over \varphi }}$  betzen denez, formula hori honela berridaz daiteke:

${\displaystyle F_{n}={\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n} \over \surd 5}={\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n} \over 2\varphi -1}={\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n} \over 2\varphi -1}}$ 

Propietate hori egiaztatzeko, ohartu ${\displaystyle \varphi }$  eta ${\displaystyle \psi }$  ondorengo ekuazioen soluzioak direla:

${\displaystyle x^{2}=x+1}$  eta ${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},\forall n\geq 2}$ 

Horrenbestez, ${\displaystyle \varphi }$  eta ${\displaystyle \psi }$  konstanteek, Fibonacciren errekurtsioa betetzen dute.

Beste hitz batzuetan esanda, ${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}$  eta ${\displaystyle \psi ^{n}=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}}$  betetzen da ${\displaystyle \forall n\geq 2.}$ 

Berehala ikus daiteke ${\displaystyle a}$  eta ${\displaystyle b}$  zenbakien edozein baliorentzat ${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$  segidak errekurtsio bera betetzen du.

${\displaystyle U_{n}=U_{n-1}+U_{n-2}=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}=a\varphi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-1}+b\psi ^{n-2}}$ 

Baldin eta ${\displaystyle a}$  eta ${\displaystyle b}$ -ren balioak ${\displaystyle U_{0}=0}$  eta ${\displaystyle U_{1}=1}$  betetzeko hautatzen badira, orduan ${\displaystyle U_{n}}$  segida erresultanteak Fibonacciren segida izango da.

Aurreko baldintza ezartzea eta ondorengo ekuazio-sistema planteatzea baliokideak izango dira: ${\displaystyle {\begin{cases}a+b=0\\a\varphi +b\psi =1\end{cases}}}$ 

Eta beraz, bilatzen ari ginen formula topatuko dugu. Hasierako balioak ${\displaystyle U_{0}}$  eta ${\displaystyle U_{1}}$  hartuz, soluzio orokorrago bat honakoa da:

${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$  non ${\displaystyle a={U_{1}-U_{0}\psi \over {\sqrt {5}}}}$  eta ${\displaystyle b={U_{0}\varphi -U_{1} \over {\sqrt {5}}}}$ 

Ondoz-ondoko gaien arteko zatiduraren limitea

Johannes Keplerrek Fibonacciren segidako ondoz-ondoko bi gaien arteko zatiduraren limitea konbergentea zela ikusteaz ez ezik, zatidura horiek guztiak limitean urrezko zenbakira hurbiltzen zirela ikusi zuen: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{F_{n+1} \over F_{n}}=\varphi .}$  Limitearen konbergentzia ez da segidako lehenengo gaien balioen araberakoa, segidako lehenengo bi balioak 0 hartzen ditugunean salbu. Proposizio hori Bineten formula erabiliz egiazta daiteke erraz.

Esate baterako, segidako lehenengo bi gai gisa ${\displaystyle 3}$  eta ${\displaystyle 2}$  balioak hartuz gero, ondorengo segida sortzen da: ${\displaystyle 3,2,5,7,19,31,50,81,...}$ 

Segidako ondoz-ondoko bi gaien arteko zatidura urrezko zenbakira gerturatzen da limitean.

Maila goragoko berreturen deskonposaketa

Urrezko zenbakiak ondorengo ekuazioa betetzen duenez, ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ 

Espresio hori ${\displaystyle \varphi ^{n}}$  gisako berreturak maila beheragokoen konbinazio-lineal baten gisa adierazteko. atera daitekeen erlazio errekurtsiboak Fibonacciren zenbakiak ondorengo espresioaren bidez ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\forall n\in \mathbb {N} }$ . Ekuazio hori, matematikoa erabiliz froga daiteke:

bidezko froga: ${\displaystyle n=1}$  kasuaren egiaztapena: ${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi =F_{1}\varphi +F_{0}}$ 

Demagun egia dela ${\displaystyle n=k}$  kasurako: ${\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},\forall k\in N}$ 

${\displaystyle n=k+1}$  kasuaren froga: ${\displaystyle \varphi ^{k+1}=\varphi ^{k}\varphi =\varphi (F_{k}\varphi +F_{k-1})}$ 

${\displaystyle =F_{k}\varphi ^{2}+F_{k-1}\varphi =F_{k}+F_{k}\varphi +F_{k-1}\varphi }$ 

${\displaystyle =F_{k}+\varphi (F_{k}+F_{k-1})=F_{k}+F_{k+1}\varphi }$  ${\displaystyle \Box }$ 

Adierazpen hori egia da baita ere n<1 Fibonacciren segida ${\displaystyle F_{n}}$  balio negatiboetara orokortu daiteke, oinarrizko araua erabiliz: ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ 

Fibonacciren segida deskribatzen duen 2 dimentsioko diferentzia ekuazioen sistema bat honakoa da:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}},\forall n\in \mathbb {N} .}$  Honela ere berridatzi daiteke ekuazioa: ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{k+1}=A{\overrightarrow {F}}_{k}}$ 

zeinaren bidez ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{k+1}=A^{n}{\overrightarrow {F}}_{0}}$  ondoriozta daitekeen. Matrizearen balio propioak ${\displaystyle \lambda _{1}=\varphi ={1 \over 2}(1+\surd 5)}$  eta ${\displaystyle \lambda _{2}=\psi ={1 \over 2}(1-\surd 5)}$ 

${\displaystyle {\overrightarrow {\mu }}={\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}}}$  eta ${\displaystyle {\overrightarrow {\nu }}={\begin{pmatrix}-{1 \over \varphi }\\1\end{pmatrix}}.}$  Hasierako balioa honakoa denez, ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}A^{n}{\overrightarrow {\mu }}-{1 \over {\sqrt {5}}}A^{n}{\overrightarrow {\nu }}}$ 

${\displaystyle ={1 \over {\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\overrightarrow {\mu }}-{1 \over {\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\overrightarrow {\nu }}={1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1+{\sqrt {5}} \over 2}{\Biggr )}^{n}{\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}}-{1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1-{\sqrt {5}} \over 2}{\Biggr )}^{n}{\begin{pmatrix}-{1 \over \varphi }\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{pmatrix}}}$ 

Emaitza horri esker, berehala lor daiteke n-garren Fibonacciren zenbakia kalkulatzeko adierazpen esplizitu bat:

${\displaystyle F_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1+{\sqrt {5}} \over 2}{\Biggr )}^{n}-{1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1-{\sqrt {5}} \over 2}{\Biggr )}^{n}}$ 

Fibonacciren zenbakien inguruan ondorengo galdera egin diezaiokegu geure buruari: nola determina daiteke ea ${\displaystyle x}$  zenbaki oso eta positibo bat Fibonacciren zenbaki bat ote den? Hori egia izateko beharrezko baldintza eta nahikoa da ${\displaystyle 5x^{2}+4}$  edo ${\displaystyle 5x^{2}-4}$  karratu perfektu bat izatea.

Baldintza hori arrazoia da Bineten formula modu honetan birformula daitekeela: ${\displaystyle n=\log _{\varphi }{\Bigl (}{F_{n}{\sqrt {5}}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}} \over 2}{\Bigr )}}$ 

Goiko formulak Fibonacciren zenbaki baten posizioa zehazteko lagungarria gerta dakiguke.

Ohartu formula horrek osoak itzuli behar ditu n-ren balio guztientzat logaritmoak zenbaki oso bat itzul dezan.

Indukzio bidezko frogak

Fibonacciren identitateak, oro har, oso erraz froga daitezke matematikoa erabiliz.

Adibidez, har dezagun ondorengo berdintza: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ 

Ekuazioaren bi aldeetan ${\displaystyle F_{n+1}}$  batuz gero, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$  lortuko dugu. Beraz, formula bat lortuko dugu ${\displaystyle n+1}$  kasurako:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1.}$  Era berean, ${\displaystyle F_{n+1}^{2}}$  batzen badugu ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n}F_{n+1}}$  ekuazioaren bi aldeetan ondorengoak lortuko ditugu:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{n+1}(F_{n}+F_{n+1})}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$ 

Bineten formula eta bere frogak

Bineten fomularen arabera, ${\displaystyle F_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\psi ^{n})={1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1+\surd 5 \over 2}{\Biggr )}^{n}-{1 \over {\sqrt {5}}}{\Biggl (}{1-\surd 5 \over 2}{\Biggr )}^{n}}$ 

Identitate hori Fibonacciren identiteak frogatzeko erabili ohi da. Esate baterako, ondorengo identitatea formula horre bidez froga daiteke.

${\displaystyle 1+\varphi +\varphi ^{2}+\varphi ^{3}+...+\varphi ^{n}-1-\psi -\psi ^{2}-\psi ^{3}-...-\psi ^{n}}$ 

${\displaystyle ={\varphi ^{n+1}-1 \over \varphi -1}-{\psi ^{n+1}-1 \over \psi -1}={\psi ^{n+1}-1 \over \varphi }-{\varphi ^{n+1}-1 \over \psi }}$ 

${\displaystyle ={\varphi -\varphi ^{n+2}-\psi +\psi ^{n+2} \over \varphi \psi }=\varphi ^{n+2}-\varphi -(\psi ^{n+2}-\psi )={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)}$  ${\displaystyle \Box }$ 

Behar den bezala ${\displaystyle \varphi \psi =-1}$  eta ${\displaystyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$  identitateak erabiliz, goiko ekuazioa sinplifikatu dugu.

Beste eratako identitate asko metodo ezberdinak erabiliz ondoriozta daitezke. Hemen ditugu horietako zenbait adibide:

Cassini eta Catalanen identitateak

Cassiniren identitateak baieztatzen duena da: ${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}}$ 

Era berean, ekuazio hori determinante bat bezala adieraz daiteke: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}F_{n}&F_{n-1}\\F_{n+1}&F_{n}\end{vmatrix}}=(-1)^{n+1}}$ 

Catalanen identitatea aurrekoaren orokorpen bat da: ${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n+r}F_{r}^{2}}$ 

d'Ocagneren identitatea

${\displaystyle F_{n}F_{m+1}-F_{n+1}F_{m}=(-1)^{n}F_{m-n}}$ 

${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}(F_{n+1}-F_{n-1})=F_{n}L_{n}}$  non ${\displaystyle L_{n}}$  Lucasen n-garren gaia den.

Azken identitatea n bikoizteko formula bat da; mota honetako beste identiate batzuk honakoak dira:

${\displaystyle F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n-1}F_{n+1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$ 

Cassiniren identitateari esker, berehala ondoriozta daitezke

${\displaystyle F_{3n+1}=2F_{n+1}^{3}+3F_{n}^{2}F_{n+1}-F_{n}^{3}}$ 

${\displaystyle F_{3n+2}=2F_{n+1}^{3}+3F_{n}F_{n+1}^{2}+F_{n}^{3}}$ 

${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}(2F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2})-3F_{n}^{2}(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2})}$ 

Bada identitate bat aurrekoak baino are orokorragoa dena:

${\displaystyle F_{mn+k}=\sum _{i=0}^{m}{\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}}=F_{k-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{m-i}}$ , edo bestela,

${\displaystyle F_{mn+k}=\sum _{i=0}^{m}{\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}}=F_{k+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{m-i}}$ 

Formulan m=2 balioa ordezkatuz gero, ez da zaila ikustea goiko ataleko amaierako formulen forma matriziala lortzen dela.

Fibonacciren segidaren funtzio sortzailea ondorengo berretura seriea da:

${\displaystyle s(x)=\sum _{k=1}^{\infty }F_{k}x^{k}=x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+...}$ 

Serie hori konbergentea da ${\displaystyle |x|<{1 \over \varphi }}$  balio guztietarako, eta bere baturak forma esplizitu sinple bat du: ${\displaystyle s(x)={x \over 1-x-x^{2}}}$ 

Berdintza hori Fibonacciren errekurtsioa erabiliz froga daiteke serieko koefiziente guztiak garatzeko.

${\displaystyle s(x)=\sum _{k=1}^{\infty }F_{k}x^{k}=xF_{1}+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k}x^{k}=x+\sum _{k=2}^{\infty }x^{k}(F_{k-1}+F_{k-2})}$ 

${\displaystyle =x+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-1}x^{k}+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}x^{k}=x+x\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-1}x^{k-1}+x^{2}\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}x^{k-2}}$ 

${\displaystyle =x+x\sum _{k=1}^{\infty }F_{k}x^{k}+x^{2}\sum _{k=1}^{\infty }F_{k}x^{k}=x+xs(x)+x^{2}s(x)}$ 

Ekuazioan ${\displaystyle s(x)}$  bakanduz gero, ${\displaystyle s(x)={x \over 1-x-x^{2}}}$  adierazpena lor daiteke.

Bestalde, ${\displaystyle -s(-{1 \over x})}$  adierazpenak negafibonacciren zenbakien balioak kalkulatzeko balioa du eta honako ekuazio funtzionala betetzen du:

${\displaystyle s(x)=s(-{1 \over x}).}$  Zatiki bakunen bidezko deskonposizioaren adierazpena honakoa da:

${\displaystyle s(x)={1 \over {\sqrt {5}}}{\Bigl (}{1 \over 1-\varphi x}-{1 \over 1-\psi x}{\Bigr )},}$  non ${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$  eta ${\displaystyle \psi ={1-{\sqrt {5}} \over 2}}$  diren.

Zatigarritasunaren inguruko propietateak

Fibonaccien segidako bikoitia da eta, are gehiago, segidako k-garren edozein zenbaki ${\displaystyle F_{k}}$  zenbakiaren multiplo bat da. Ondorioz, Fibonacciren segida segida zatigarri baten adibide garbi bat izan daiteke. Fibonacciren segidak ondorengo zatigarritasun propietate sendoago bat betetzen du: ${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\gcd(F_{m},F_{n})=F_{\gcd(m,n)}}$  non ${\displaystyle \gcd(m,n)}$ , ${\displaystyle m}$  eta ${\displaystyle n}$ -ren zatiki komunik handiena den.

Ondoz-ondoko hiru Fibonacciren zenbaki hartuz gero, binaka lehenak izango dira elkarrekiko.

Ondorioz, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$ 

${\displaystyle p}$  zenbaki lehen orok ${\displaystyle p{\bmod {5}}}$  balioarekin determinatzen den Fibonacciren edozein zenbaki zati dezake. Baldin eta 1 edo 4 zenbakien baliokidea bada (mod 5), orduan ${\displaystyle p}$  lehenak ${\displaystyle F_{p-1}}$  zenbakia zatitzen du. Are gehiago, ${\displaystyle p}$  zenbakia 2 edo 3 zenbakien baliokidea bada (mod 5), orduan ${\displaystyle p}$  lehenak ${\displaystyle F_{p+1}}$  zatitzen du. Geratzen den kasu bakarra da ${\displaystyle p\equiv 5}$  (mod 5), eta kasu honetan ${\displaystyle p}$  lehenak ${\displaystyle F_{p}}$  zatitzen du.

${\displaystyle {\begin{cases}p=5\Longrightarrow p\mid F_{p}\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\Longrightarrow p\mid F_{p-1}\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\Longrightarrow p\mid F_{p+1}\end{cases}}}$ 

Kasu horiek guztiak kasu bakar batean laburbildu daitezke, Legendreren ikurra erabiliz: ${\displaystyle p\mid F_{n-({5 \over n})}}$ 

Zenbaki bat lehena den determinatzeko irizpidea

Arestian ondorioztatu dugun formula zenbaki bat lehena ote den determinatzeko irizpide gisa aplika dezakegu. ${\displaystyle n\mid F_{n-({5 \over n})}}$  betetzen bada,

non Legendreren ikurra Jacobiren ikur batekin ordezkatu den, orduan n zenbaki lehen bat dela ondoriozta daiteke. Ordea, aurreko baldintza bete ezean, berehala ondorioztatuko dugu n ez dela zenbaki lehen bat. Baldin eta n zenbaki konposatu bat bada eta formula betetzen badu, orduan n Fibonacciren pseudolehen bat izango da. m zenbakia oso handia bada (adibidez, 500-bit tamainako zenbaki bat) orduan ${\displaystyle F_{m}}$  (mod n) balioa kalkula daiteke honako forma matriziala erabiliz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}}$ 

Hemen, ${\displaystyle A^{m}}$  matrizearen berretura berretura modularraren bidez kalkulatzen da, zeina matrizeentrat egokitu daitekeen.

Fibonacciren zenbaki lehenak

Fibonacciren zenbaki lehenak, Fibonacciren zenbakiak izateaz ez ezik, lehenak diren zenbakiak dira. Ondorengoak dira lehen Fibonacciren zenbaki lehenak: ${\displaystyle 2,3,5,13,89,233,1579,28657,514229,...}$  Orain arte milaka zifratako Fibonacciren zenbaki lehenak topatu badira ere, oraindik ez da frogatu ea mota horretako zenbakien kopurua infinitua ote den.

${\displaystyle F_{n}}$  zenbakiak ${\displaystyle F_{kn}}$  zati dezake, beraz, ${\displaystyle F_{4}=3}$  kasuaz gainera, Fibonacciren edozein zenbaki lehenak indize lehen bat izan behar du. Ez da existitzen ${\displaystyle F_{6}=8}$  baino handiagoa den Fibonacciren zenbakirik, non zenbaki hori lehen bat baino unitate bat handiagoa edo txikiagoa den. Fibonacciren Fibonacciren zenbakien artean karratu ez-tribial bat den zenbaki bakarra 144 zenbakia da.

Attila Pethok 2001. urtean frogatu zuen berretura perfektu bat bezala adieraz daitezkeen Fibonacci zenbakien kopurua finitua dela eta 2006. urtean Y. Bugeaud, M. Mignotte eta S. Siksek frogatu zuten 8 eta 144 zenbakiak direla existitzen diren mota horretako zenbaki bakarrak. Ez da existitzen karratu perfektu bat den Fibonacciren zenbakirik. Orokorrago esanda, ez da existitzen Fibonacciren zenbaki lehenik (1 zenbakia izan ezik). Are gehiago, edozein bi Fibonacciren zenbaki hartuz gero, beren arteko zatiketa ezin daiteke inoiz izan karratu perfektu bat.

Fibonacciren segida antzinatik ezagutzen den segida errepikaririk ospetsuenetako bat da. Segida horiek guztiak Fibonacciren segidaren generalizazio batzuk direla esan daiteke. Partikularki, Bineten formula edozein diferentzia ekuazio koefiziente konstanteekin. Partikularki, Bineten formula edozein segidatara orokortu daiteke diferentzia ekuazio lineal eta homogeneo baten soluzioak aurkitzeko.

Adibide espezifiko batzuk ondorengoak ondorengoak izan daitezke:

• Indizearen balioak zenbaki negatibotara generalizatzea negafibonacciren zenbakiak definitzeko.
• Indizearen balioak zenbaki errealetara generalizatzea Bineten formularen modifikazio bat baliatuz.
• Beste zenbaki arrunta batzuetatik hasita. Lucasen zenbakiak honela definitzen dira: ${\displaystyle L_{1}=1,L_{2}=3}$  eta ${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$  zenbaki arrunta guztietarako. Primefree-ren segidak Fibonacciren zenbaki segidaren errekurtsioa erabiltzen du hasierako beste balio batzuk hartuz, zenbaki konposatuak itzuliko dituzten bestelako zenbaki segindak definitzeko.
• Batzen diren gaiak aurreko biak izan gabe. Padovanen segida eta Perrinen zenbakiek zenbakiek dute: ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$ 
• Hurrengo zenbakia zehaztu 3 zenbaki batuz (tribonacciren zenbakiak), 4 zenbaki (tetranacciren zenbakiak), etab. Zenbaki-segida erresultante horiek n-urratseko Fibonacciren zenbakiak bezala ere ezagutzen dira. Zenbaki segida hauek estuki erlazionaturik daude zenbaki metalikoekin. Modu honetan adieraz daiteke zenbaki metalikoen multzoa:

${\displaystyle M_{n}=\{{{n+{\sqrt {n^{2}+4n}} \over 2}:n\in \mathbb {N} }\}}$ 

Ohin-oharrak

^ "For four, variations of meters of two [and] three being mixed, five happens. For five, variations of two earlier – three [and] four, being mixed, eight is obtained. In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens. And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven morae [is] twenty-one. In this way, the process should be followed in all mātrā-vṛttas"

Aipamen esanguratsu batzuk

• Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0.
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.
• Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0.
• Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, pp. 91–101, ISBN 978-0-471-31515-5.
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.
• Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (in French), 1, Paris: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ.
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6.

• Fibonacciren segida

• Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
• Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
• Fibonacci Sequence on In Our Time at the BBC
• "Fibonacci numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• OEIS sequence A000045 (Fibonacci numbers)