Фибоначчи Һандары: һан эҙмә-эҙлеге элементтары

Фибоначчи һандары
Кем хөрмәтенә аталған	Фибоначчи
Ҡайҙа өйрәнелә	Фибоначчи һандары теорияһы[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Фибоначчи һандары Викимилектә

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (эҙмә-эҙлелек A000045 OEIS) һандар эҙмә-эҙлелегенең элементтары, унда тәүге ике һан 0 һәм 1-гә тигеҙ, ә һәр артабанғы һан алдағы ике һандың суммаһына тигеҙ. Урта быуат математикгы Леонардо Пизано хөрмәтенә атала (Фибоначчи ҡушаматы менән билдәле).

Дөрөҫ, ҡайһы бер китаптарҙа, бигерәк тә иҫке китаптарҙа, нулгә тигеҙ булған ${\displaystyle F_{0}}$ быуыны төшөп ҡала — шул саҡта Фибоначчи эҙмә-эҙлеге башлана ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}$ [5].

Формаль рәүештә әйткәндә, Фибоначчи ${\displaystyle \{F_{n}\}}$ һандарының эҙмә-эҙлелеге һыҙыҡлы рекуррент нисбәт менән бирелә:

${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$,
бында ${\displaystyle \ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z} }$.

Ҡайһы берҙә Фибоначчи һандары ${\displaystyle n}$-дың тиҫкәре ҡиммәттәре өсөн дә, шул үк рекуррент нисбәтте ҡәнәғәтләндереүсе ике яҡлы сикһеҙ эҙмә-эҙлелек булараҡ та ҡарала. Ярашлы рәүештә, тиҫкәре индекслы быуындарҙы «артҡа» эквивалентлы формула ярҙамында еңел табып була: ${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
${\displaystyle F_{n}}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Күренеүенсә, ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$.

 

 

Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге боронғо Һиндостанда яҡшы билдәле булған. Ул метрик фәндәрҙә (просодияларҙа, икенсе һүҙҙәр менән әйткәндә, шиғыр төҙөлөшөндә) Европала билдәле булғанға ҡарағанда күпкә алдараҡ ҡулланылған.

n оҙонлоғондағы өлгөнө n − 2 оҙонлоғондағы өлгөгә S-ты, йә булмаһа n − 2 оҙонлоғондағы өлгөгә — L-ды өҫтәү юлы менән төҙөргә мөмкин, һәм просодицистар, n оҙонлоҡтағы өлгөләре һаны эҙмә-эҙлеклелектә алдағы ике һандың суммаһы булыуын күрһәтә. Дональд Кнут был эффектты «Искусство программирование» китабында күрһәтә.

Көнбайышта был эҙмә-эҙлелек Леонардо Пизано, Фибоначчи булараҡ билдәле, тарафынан «Книга абака» хеҙмәтендә өйрәнелә (1202). Йорт ҡуяндарының идеаллаштырылған (биологик яҡтан ысынбарлыҡҡа тап килмәгән) популяцияһы үҫешен күҙ уңында тота. тыуғандан һуң икенсе айҙан ҡуяндар парлашып, яңы бер пар ҡуян тыуҙыра, өҫтәүенә, ай һайын; ҡуян бер касан ла үлмәй, — ә эҙләнгән һан бер йылдан ҡуян парҙары булып тора.

• Беренсе ай башында яңы тыуған пар берәү генә , пар (1).
• Беренсе ай аҙағына элккесә бер пар, ләкин улар уҙаҡлашҡан (1).
• Икенсе ай аҙағында беренсе пар тағы бер пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, (2).
• Өсөнсө ай аҙағында беренсе пар яңы пар тыуҙыра, икенсе пар яңы уҙаҡлаша (3).
• Дүртенсе ай аҙағында беренсе тағы яңы пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, икенсе пар тыуҙыра һәм уҙаҡлаша, өсөнсө пар яңы ғына уҙаҡлаша (5).

n -сы ай аҙағында ҡуян парҙары һаны алдағы айҙағы парҙар һанына һәм яңы тыуған парҙар һанына тигеҙ буласаҡ, был ике ай элек парҙар нисек булһа, ул пар шул тиклем буласаҡ, йәғни, ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}}$ . Бәлки, был мәсьәлә лә популяцияның беренсе, экспоненциаль үҫешен моделләштереүсе булып торалыр.

«Фибоначчи эҙмә-эҙлеге» атамаһы беренсе тапҡыр XIX быуат теоретигы Эдуард Люк тарафынан ҡулланыла.

Бине формулаһы ${\displaystyle F_{n}}$  ҡиммәтен асыҡтан-асыҡ n функцияһы итеп күрһәтә:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},}$ 

бында ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$  — алтын киҫелеш һәм ${\displaystyle \varphi }$  һәм ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }$  ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$  характерлы тигеҙләмәнең тамырҙары булып торалар. Ғөмүмән, оҡшаш формула Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге хеҙмәт иткән һәр һыҙыҡлы рекуррент эҙмә-эҙлелек өсөн бар.

Нигеҙләү

${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$  характерлы тигеҙләмәне ${\displaystyle x^{2}=x+1}$  күренешендә яҙабыҙ, уның ике яғын да ${\displaystyle x}$ -ҡа ҡабатлайбыҙ: ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+x}$  — һәм характерлы тигеҙләмәнән сығып, был суммала ${\displaystyle x^{2}}$ -ты ${\displaystyle x+1}$  суммаһы менән алмаштырабыҙ. Табабыҙ: ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.}$  Шулай артабан ${\displaystyle x}$ -ҡа ҡабатлауҙы һәм ${\displaystyle x^{2}}$ -ты ${\displaystyle x+1}$  суммаһы менән алмаштырыуҙы дауам итәбеҙ:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&=3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end{aligned}}}$ 

Шулай итеп, дөйөм тигеҙләмә барлыҡҡа : ${\displaystyle x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.}$  Был тигеҙләмәне дөрөҫ тигеҙлеккә әйләндереү һәм шуның менән Фибоначчи һандарын үҙҙәрен сағылдырыу өсөн ${\displaystyle \varphi }$  һәм ${\displaystyle -\varphi ^{-1}\colon }$  тамырҙарҙы ҡуйырға кәрәк:

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),}$ 

${\displaystyle \color {Black}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}\right)=F_{n-1}.}$ 

Эҙемтә һәм дөйөмләштереү

Бине формулаһынан сығып, ${\displaystyle n\geqslant 0}$  бөтә һандар өсөн ${\displaystyle F_{n}}$  һаны ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$ түңәрәкләү була, йәғни ${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .}$  Атап әйткәндә, ${\displaystyle n\to \infty }$  эргәһендә ${\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.}$  ғәҙел асимптотика

Бине формулаһы ошолай аналитик дауамлы булыуы мөмкин:

${\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).}$ 

Шул уҡ ваҡытта ${\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}}$  нисбәте һәр z комплекслы һаны өсөн үтәлә.

 

• ${\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.}$ 

• ${\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.}$ 

• ${\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.}$ 

Был тождествоны беренсеһен икенсеһенән алыу юлы менән иҫбатларға мөмкин:${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3}+\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots +F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}}$ 

• ${\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.}$ 
• ${\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$  (ҡара. дөгө.).
• ${\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.}$ 
• ${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.}$ 
• ${\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.}$ 
• ${\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.}$ 
• ${\displaystyle F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots }$  бында ${\displaystyle C_{n}^{k}}$  — биномиаль коэффициент.

Дөйөм формулалар:

• ${\displaystyle F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}.}$ 
• ${\displaystyle F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.}$ 
• ${\displaystyle F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}.}$ 
• Фибоначчи һандары берәмектәр йыйылмаһында континуант ҡиммәттәрҙән тора:: ${\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1),}$  йәғни
  ${\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}$  шулай уҡ ${\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},}$ 

бында матрица ${\displaystyle n\times n}$  размерына эйә һәм унда i — уйҙырма берәмек.

• Фибоначчи һандарын Чебышёв күпбыуындары аша билдәләргә мөмкин :
  ${\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}$ 
  ${\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}$ 
• теләһә ниндәй n ғәҙел
  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$ 
• Тикшереү итеп, билдәләүселәрҙе иҫәпләү Кассини тождествоһын бирә.

${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}$ 

• ${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.}$ 

• ${\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}$ 
  
  
  Был раҫлау Фибоначчи һандарының төп нисбәте ярҙамында Кассини тиңләшеүенән сығарыла:
  ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}}$  ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$  ${\displaystyle 0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2}+(-1)^{n}).}$ 

 

 

 

 

Фибоначчи һандарын тәбиғи һәм тарихи күренештәрҙә тапҡан бөтә раҫлауҙар ҙа дөрөҫ түгел тигән фекер бар — был киң таралған миф, йыш ҡына кәрәкле һөҙөмтәгә яраҡлы түгел булып сыға..

Тәбиғәттә

• Әгәр япраҡтар (бөрөләр) бер йыллыҡ үҫентеле (үренде, һабаҡ) спираль рәүешле булһа, үҫемлектәрҙең филлотаксисы (япраҡтарҙың урынлашыуы) Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге менән тасуирлана. Шул уҡ ваҡытта эҙмә-эҙлекле урынлашҡан япраҡтар (бөрөләр) һаны спираль буйлап плюс бер, шулай уҡ бер йыллыҡ үҫеш күсәре (үҫенте, һабаҡ) тирәләй спираль тулы әйләнештәге спираль һаны ғәҙәттә Фибоначчи тәүге һандары менән сағылдырыла.
• Көнбағыш орлоҡтары, ҡарағай тубырсыҡтары, сәскә таждары, ананас күҙәнәктәре шулай уҡ Фибоначчи эҙмә-эҙлелегенә ярашлы урынлаша.

Сәнғәттә

Шиғриәттә Бине формулаһы аша Фибоначчи һандары менән бәйле «алтын киҫелеш» (алтын пропорция) нисбәте йышыраҡ табыла. Мәҫәлән, Ш. Руставелиҙың «Юлбарыҫ тиреһе ябынған батыр» поэмаһында һәм рәссамдарҙың картинаһында.

Ләкин Фибоначчи һандары туранан-тура шиғриәттә һәм музыкала осрай

Кодлауҙа

Кодлау теорияһында тотороҡло «Фибоначчи кодтары» тәҡдим ителә. өҫтәүенә, был кодтарҙың позицион иҫәпләү системаһы — иррациональ һан.

• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷ − 1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — С. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Miklós Bóna, Miklós, «» .
• Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. — First trade paperback. — New York City: Broadway Books (инг.)баш., 2003. — ISBN 0-7679-0816-3.