Фибоначијев низ је математички низ примећен у многим физичким, хемијским и биолошким појавама.
Име је добио по италијанском математичару Фибоначију. Представља низ бројева у коме збир претходна два броја у низу дају вредност наредног члана низа. Индексирање чланова овог низа почиње од нуле а прва два члана су му 0 и 1.
То јест, након две почетне вредности, сваки следећи број је збир два претходника. Први Фибоначијеви бројеви (секвенца A000045 у OEIS), такође означени као Fn, за n = 0, 1, … , су:
Понекад се за овај низ сматра да почиње на F1 = 1, али уобичајеније је укључити F0 = 0. У неким старијим књигама, вредност је изостављена, тако да секвенца почиње са и понављање је валидно за n > 2.
Фибоначијеви бројеви су именовани по Леонарду од Писе, познатом као Фибоначи, иако су раније описани у Индији.
Ако су познати Фибоначијеви бројеви и онда се може наћи број по формули
Такође важи
Уопштено
Фибоначијеви бројеви су у снажној вези са златним пресеком: Бинетова формула изражава n-ти Фибоначијев број у смислу n и златног пресека, и подразумева да однос два узастопна Фибоначијева броја тежи златном пресеку како се n повећава.
Фибоначијеви бројеви су добили име по италијанском математичару Леонарду из Пизе, касније познатом као Леонардо Фибоначи. У својој књизи Liber Abaci из 1202. године, Фибоначи је представио овај низ западноевропској математици, иако је тај низ био описан раније у индијској математици, већ 200. године пре нове ере у раду аутора Пингала о набрајању могућих образаца санскртске поезије насталих од слогова две дужине.
Бинетова формула је експлицитно изражавање вредности као функције од
где је златни пресек. У том случају и су решења једначине .
Из Бинетове формуле за све , следи да је за најближе целом броју тј.
За је .
Формула се може аналитички приказати на следећи начин
при томе вреди за сваки комплексни број
У теорији бројева велику улогу игра број који је корен једначине i
Из Бинетове формуле
Где је
Даље се добија
и
За све вредности a, b дефинише се низ
Задовољена је и релација
Нека су и изабрани тако да је и онда добијени низ мора бити Фибоначијев низ.
Бројеви и задовољавају релацију
Односно важи
Узимајући i као почетне варијабле добија се
Односно
Посматрајмо сада
За , broj најближи цео број је , који се може добити из функције
или
Слично ако је F>0 Фибоничијев број онда може одредити његов индекс унутар низа.
где се може израчунати кориштењем логаритма друге базе
Пример
Највећи заједнички делитељ два Фибоначијева броја је број чији је индекс једнак највећем заједничком делитељу њихових индекса
Последице
је дјељив сa ако и само ако је дељиво са (без )
је прост ако је прост број са искључењем
Обратно не важи тј ако је прост број не мора бити прост
Његов полином има корене и
Године 1964, Коши је доказао да су у низу Фибоначијевих бројева једини квадрати бројеви са индексом 0,,1,2,12 , , ,
Генерирајућа функција низа фибоначијевих бројева је
Првих 21 Фибоначијевих бројева за
F0 | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 | F13 | F14 | F15 | F16 | F17 | F18 | F19 | F20 |
0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 |
Овај низ бројева може се проширити и на негативне бројеве.
Низ бројева за
F−8 | F−7 | F−6 | F−5 | F−4 | F−3 | F−2 | F−1 | F0 | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 |
−21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 |
Опште формуле
где матрице имају облик , i је имагинарна јединица.
За било који
Последица
Формула за поновно добијање Фибоначијевих бројева је
Фибоначијев низ се често повезује и са бројем фи (phi), или бројем којег многи зову и „Божанским односом”. Ако се узме један део Фибоначијевог низа, 2, 3, 5, 8, те подели сваки следећи број с њему претходним, добиће се увек број приближан броју 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Број 1,618 јесте број фи. Односи мера код биљака, животиња и људи, са запањујућом прецизношћу се приближава броју фи.
Следи неколико примера броја фи и његове повезаности са Фибоначијем и природом:
This article uses material from the Wikipedia Српски / Srpski article Фибоначијев низ, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Садржај је доступан под лиценцом CC BY-SA 4.0 осим ако је другачије наведено. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Српски / Srpski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.