ریاضی سلسلہ

کسی متوالیہ کے ارکان کی جمع کو سلسلہ کہتے ہیں۔ مثلاً متوالیہ ${\displaystyle 1,3,5,7}$ کی جمع ${\displaystyle 1+3+5+7}$ اس کا بمطابق سلسہ ہے۔ متوالیہ

${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3},\cdots ,v_{n},\cdots }$

کا n واں جزوی جمع

${\displaystyle S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}$

ہے اور اس متوالیہ کا بمطابق سلسہ ${\displaystyle S_{n}}$ ہے۔ اس جمع کے لیے ${\displaystyle \sum }$ کی تدوین عموماً استعمال ہوتی ہے، ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}}$ جہاں i جمع کی index ہے اور i کی نچلی حد 1 ہے اور اس کی اوپر حد n ہے۔ ${\displaystyle \sum }$ تدوین کے ساتھ جمع کے کچھ خواص بیان کرتے ہیں:

• دائم عدد c ہو اور قدرتی اعداد m, n، جہاں ${\displaystyle m\leq n}$۔ متوالیہ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n},\cdots }$ ہو۔ پھر

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}cv_{i}=c\sum _{i=m}^{n}v_{i}}$

• متوالیہ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots }$ اور ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n},\cdots }$ ہوں اور قدرتی اعداد m, n، جہاں ${\displaystyle m\leq n}$، پھر

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(v_{i}+u_{i})=\sum _{i=m}^{n}v_{i}+\sum _{i=m}^{n}u_{i}}$

• متوالیہ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n},\cdots }$ ہو اور قدرتی اعداد m, n, p، جہاں ${\displaystyle m$، پھر

${\displaystyle \sum _{i=m}^{p}v_{i}=\sum _{i=m}^{n}v_{i}+\sum _{i=n+1}^{p}v_{i}}$

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا فرق دائم ہو، کو حسابی متوالیہ کہا جاتا ہے۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

${\displaystyle a,a+d,a+2d,a+3d,\cdots }$ 

جہاں a پہلا رکن ہے اور d مشترکہ فرق۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن ${\displaystyle v_{n}}$  کو یوں لکھیں گے

${\displaystyle v_{n}=a+(n-1)d\,,\,\,n\in \mathbb {N} }$ 

اس متوالیہ کے سلسلہ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}}$  کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے

${\displaystyle {\begin{matrix}S_{n}&=&(a)&+&(a+d)&+&\cdots &+&(a+(n-1)d)\\S_{n}&=&(a+(n-1)d)&+&(a+(n-2)d)&+&\cdots &+&(a)\\\\2S_{n}&=&(2a+(n-1)d)&+&(2a+(n-1)d)&+&\cdots &+&(2a+(n-1)d)\end{matrix}}}$ 

پہلی دو سطروں میں سلسلہ کے ارکان کو ایک دوسرے کے مخالف ترتیب میں لکھا گیا ہے۔ تیسری سطر پہلی دو سطروں کو جمع کر کے حاصل ہوئی ہے۔ غور کرو کہ تیسری سطر میں n رقمیں ہیں، جو سب برابر ہیں۔ اس سے ہمیں یہ کلیہ ملتا ہے

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(2a+(n-1)d)}{2}}}$ 

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا تناسب دائم ہو، کو ہندساتی متوالیہ کہتے ہیں۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

${\displaystyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\cdots }$ 

جہاں a پہلا رکن ہے اور r مشترکہ تناسب۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن ${\displaystyle v_{n}}$  کو یوں لکھیں گے

${\displaystyle v_{n}=ar^{(n-1)}\,,\,\,n\in \mathbb {N} }$ 

اس متوالیہ کے سلسلہ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}}$  کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے

${\displaystyle {\begin{matrix}S_{n}&=&a&+&ar&+&\cdots &+&ar^{n-2}&+ar^{n-1}\\rS_{n}&=&&&ar&+&\cdots &+&ar^{n-2}&+ar^{n-1}+ar^{n}\\\end{matrix}}}$ 

دوسری سطر پہلی سطر کو r سے ضرب دے کر حاصل ہوئی ہے۔ پہلی سطر میں سے دوسری سطر کو منفی کر کے ہمیں حاصل ہوتا ہے

${\displaystyle S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}}$ 

جس سے کلیہ مل جاتا ہے

${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ 

لامتناہی سلسلہ کو حد کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے، ${\displaystyle S_{\infty }=\lim _{n\to \infty }S_{n}}$  اگر جواب متناہی ہو، یعنی

${\displaystyle \ |S_{\infty }|<\infty }$ 

تو کہتے ہیں کہ سلسلہ مرکوز ہوتا ہے، ورنہ نہیں۔ مثال کے طور پر ہندساتی سلسلہ کو دیکھیں

${\displaystyle S_{\infty }=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ 

یہ مرکوز ہوتا ہے، جب ${\displaystyle \ |r|<1}$  اور

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}\,,\,\,|r|<1}$ 

کیونکہ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }r^{n}=0\,,\,\,|r|<1}$