Matematik Serie

Serien kan vara ändlig eller oändlig.^{[förtydliga]} Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en oändlig serie vara ändlig, trots att antalet termer är oändligt. Man säger då att den konvergerar.

Formellt definierar man en oändlig serie som en talföljd ${\displaystyle \{s_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$  av delsummor till en given talföljd ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$  där ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ . Om ${\displaystyle s_{n}}$  har ett gränsvärde då ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$  säger man att serien är konvergent. Saknas gränsvärde säger man att serien är divergent. Existerar ett gränsvärde kallas detta för seriens summa och brukar skrivas med vanligt summatecken, med skillnaden att ett oändlighetstecken skrivs där man normalt skriver den övre gränsen. Man gör alltså följande definition:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}.}$ 

Ofta används även detta skrivsätt när talföljden ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$  saknar gränsvärde, och man säger då att serien är divergent.

Dock kan serier som är divergenta i den vanliga meningen ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering. Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.

Till exempel kan e beräknas med serien:

${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdot \cdot \cdot }$ 

Detta är ett exempel på en Taylorutveckling.

• Fourierserie
• Teleskoperande serie
• Harmoniska serien

• Arne Persson, Lars-Christer Böiers, Analys i en variabel, Studentlitteratur, andra upplagan 2001. ISBN 91-44-02056-2.
• Sven Spanne, System och Transformer I Tidsdiskreta lineära system och komplex analys, KFS AB 2005.