Shpërndarja E Studentit

Ashtu si kjo e fundit, ajo është simetrike rreth zeros dhe në formë këmbane.

Shpërndarja e Studentit

Probability density function
Cumulative distribution function
Parametrat	${\displaystyle \nu >0}$ Shkallët e lirisë (real)
FDGJ	${\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}$
FGSH	$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$$ ku 2F1 është funksioni hipergjeometrik
Vlera e pritur	0 për ${\displaystyle \nu >1}$, ndryshe
Mediana	0
Moda	0
Varianca	${\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ për ${\displaystyle \nu >2}$, ∞ për ${\displaystyle 1<\nu \leq 2}$, përndryshe e papërcaktuar
Shtrirja	0 për ${\displaystyle \nu >3}$, përndryshe e papërcaktuar
Kurtoza e tepërt	${\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ për ${\displaystyle \nu >4}$, ∞ për ${\displaystyle 2<\nu \leq 4}$, përndryshe e papërcaktuar

Megjithatë, ${\displaystyle t_{\nu }}$ ka bishta më të rëndë dhe sasia e masës së probabilitetit në bishta kontrollohet nga parametri ${\displaystyle \nu }$ . Për ${\displaystyle \nu =1}$ shpërndarja e t Studentit ${\displaystyle t_{\nu }}$ bëhet shpërndarje standarde Cauchy, ndërsa për ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$ bëhet shpërndarje normale standarde ${\displaystyle N(0,1)}$ .

Shpërndarja e studentit luan një rol në një numër analizash statistikore të përdorura gjerësisht, duke përfshirë testin t Student për vlerësimin e rëndësisë statistikore të ndryshesës midis dy mesatareve të mostrës, ndërtimin e intervaleve të besimit për ndryshesën midis dy mesatareve të popullsisë dhe në analiza e regresit linear.

Në formën e shkallës-vendndodhje shpërndarja t ${\displaystyle lst(\mu ,\tau ^{2},\nu )}$ ajo përgjithëson shpërndarjen normale dhe gjithashtu lind në analizën Bejesiane të të dhënave nga një familje normale si një shpërndarje e përbërë kur margjinalizohet mbi parametrin e variancës.

ku

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Shpërndarja t e studentit ka funksionin e dendësisë së probabilitetit (PDF) të dhënë nga

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$ 

ku ${\displaystyle \nu }$  është numri i shkallëve të lirisë dhe ${\displaystyle \Gamma }$  është funksioni gama. Kjo mund të shkruhet edhe si

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$ 

ku B është funksioni Beta. Në veçanti për shkallët e lirisë me vlerë të plotë ${\displaystyle \nu }$  ne kemi:

Për ${\displaystyle \nu >1}$  çift,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot }$ 

Për ${\displaystyle \nu >1}$  tek,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!}$ 

Funksioni i dendësisë së probabilitetit është simetrik, dhe forma e tij e përgjithshme i ngjan formës së këmbanës me mesatare 0 dhe variancë 1, përveç se është pak më e ulët dhe më e gjerë. Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja t i afrohet shpërndarjes normale me mesataren 0 dhe variancën 1. Per kete arsye ${\displaystyle {\nu }}$  njihet edhe si parametri i normalitetit.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse (FSHM) mund të shkruhet në termat e I, funksioni beta jo i plotë i rregulluar. Për t > 0,

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),}$ 

Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) devijimi standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja t përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes t .

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.}$ 

Raste të veçanta

Vlerat e caktuara të ${\displaystyle \nu }$  jepni një formë të thjeshtë për shpërndarjen së Studentit.

${\displaystyle \nu }$	PDF	CDF	shënime
1	${\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)}$	Shih shpërndarjen Cauchy
2	${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)\right]}}$
4	${\displaystyle {\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{\left[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}\right]}}$
5	${\displaystyle {\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {5}}}\right)\right]}}$
${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-t^{2}/2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}}$	Shikoni Shpërndarja normale, Funksioni i gabimit

Shndërrimi i shkallës-vendndodhje

Shpërndarja t e studentit përgjithësohet në shpërndarjen e tre parametrave vendndodhje-shkalla t ${\displaystyle lst(\mu ,\tau ^{2},\nu )}$  duke futur një parametër vendndodhjeje ${\displaystyle \mu }$  dhe një parametër shkallë ${\displaystyle \tau }$  . Me

${\displaystyle T\sim t_{\nu }}$ 

dhe transformimi i familjes në shkallë vendi

${\displaystyle X=\mu +\tau T}$ 

marrim

${\displaystyle X\sim lst(\mu ,\tau ^{2},\nu )}$ 

Raste të veçanta

• Nëse ${\displaystyle X}$  ndjek një shpërndarje Studenti shkallë-vendndodhje ${\displaystyle X\sim \mathrm {lst} \left(\mu ,\tau ^{2},\nu \right)}$  pastaj për ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$  ${\displaystyle X}$  shpërndahet normalisht ${\displaystyle X\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$  me mesatare ${\displaystyle \mu }$  dhe variancë ${\displaystyle \tau ^{2}}$  .
• Shpërndarja e Studentit shkallë-vendndodhje ${\displaystyle \mathrm {lst} \left(\mu ,\tau ^{2},\nu =1\right)}$  me shkallë lirie ${\displaystyle \nu =1}$  është e njëvlerëshme me shpërndarjen Cauchy ${\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)}$  .
• Shpërndarja t -shkallë-vendndodhje ${\displaystyle \mathrm {lst} \left(\mu =0,\tau ^{2}=1,\nu \right)}$  me ${\displaystyle \mu =0}$  dhe ${\displaystyle \tau ^{2}=1}$  reduktohet në shpërndarjen e Studentit ${\displaystyle t_{\nu }}$ 

Shpërndarja e mostrës së statistikës Student

Shpërndarja t lind si shpërndarja e mostrës së statistikës t . Më poshtë diskutohet statistika t në një kampion, për statistikën t korresponduese me dy mostra shihni T-testin e Studentit .

Vlerësimi i paanshëm i variancës

Le ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$  të jenë mostra të pavarura dhe të shpërndara identikisht nga një shpërndarje normale me mesatare ${\displaystyle \mu }$  dhe variancë ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  . Varianca mesatare dhe e paanshme e kampionit jepen nga:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}},\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.\end{aligned}}}$ 

Statistika t që rezulton (një mostër) jepet nga

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s^{2}/n}}}\sim t_{n-1}.}$ 

dhe shpërndahet sipas një shpërndarjeje që ndjek ligjin e Studentit me ${\displaystyle n-1}$  shkallët e lirisë.

Vlerësimi i variancës PM

Në vend të vlerësimit të paanshëm ${\displaystyle s^{2}}$  ne gjithashtu mund të përdorim vlerësuesin e përgjasisë maksimale

${\displaystyle s_{ML}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$ 

duke dhënë statistikën

${\displaystyle t_{ML}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{ML}^{2}/n}}}={\sqrt {\frac {n}{n-1}}}t.}$ 

Kjo shpërndahet sipas shpërndarjes t shkallës-vendndodhje:

${\displaystyle t_{ML}\sim lst(0,\tau ^{2}=n/(n-1),n-1).}$ 

Në përfundimin statistikor frekuentist

Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) shmangia standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja t përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse do të dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes së Studentit .

Intervalet e besimit dhe testet e hipotezave janë dy procedura statistikore në të cilat kërkohen kuantiljet e shpërndarjes së mostrës së një statistike të caktuar (p.sh. rezultati standard ). Në çdo situatë ku kjo statistikë është një funksion linear i të dhënave, pjesëtuar me vlerësimin e zakonshëm të shmangies standarde, sasia që rezulton mund të rishkallëzohet dhe të përqendrohet për të ndjekur shpërndarjen e Studentit. Analizat statistikore që përfshijnë mesataret, mesataret e ponderuara dhe koeficientët e regresionit të gjitha çojnë në statistika që kanë këtë formë.

Testimi i hipotezave

Një numër statistikash mund të tregohet se kanë shpërndarje t-Studenti për mostrat me madhësi mesatare nën hipotezat zero që janë me interes, në mënyrë që shpërndarja e Studentit të formojë bazën për testet e rëndësisë. Për shembull, shpërndarja e koeficientit të korrelacionit të Spearman ρ, në rastin zero (korrelacion zero) përafrohet mirë me shpërndarjen t për madhësitë e mostrës mbi 20. 

Intervalet e besimit

Supozoni se numri A është zgjedhur i tillë që

${\displaystyle \Pr(-A$ 

kur T ka një shpërndarje Studenti me n − 1 shkallë lirie. Nga simetria, kjo është njësoj si të thuash që A kënaq kushtin

${\displaystyle \Pr(T$ 

pra A është "përqindja 95" e kësaj shpërndarjeje probabiliteti, ose ${\displaystyle A=t_{(0.05,n-1)}}$  . Atëherë

${\displaystyle \Pr \left(-A<{\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {n}}}}$ 

dhe kjo është e njëvlerëshme me

${\displaystyle \Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0.9.}$ 

Prandaj, intervali, pikat fundore të të cilit janë

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$ 

është një interval besimi 90% për μ. Prandaj, nëse gjejmë mesataren e një grupi vëzhgimesh që mund të presim në mënyrë të arsyeshme të kemi një shpërndarje normale, mund të përdorim shpërndarjen e Studentit për të shqyrtuar nëse kufijtë e besimit në atë mesatare përfshijnë disa vlera të parashikuara teorikisht - siç është vlera e parashikuar nën një hipotezë zero .

Është ky rezultat që përdoret në testet e Studentit : meqenëse ndryshesa midis mesatareve të mostrave nga dy shpërndarje normale shpërndahet normalisht, shpërndarja t-Student mund të përdoret për të ekzaminuar nëse kjo diferencë mund të supozohet në mënyrë të arsyeshme të jetë zero. .

Tabela e mëposhtme liston vlerat për shpërndarjet t-Student me ν shkallë lirie për një sërë zonash kritike të njëanshme ose të dyanshme. Kolona e parë është ν, përqindjet përgjatë majës janë nivele besimi dhe numrat në trupin e tabelës janë ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$  faktorët e përshkruar në seksionin mbi intervalet e besimit .

Llogaritja e intervalit të besimit

Le të themi se kemi një mostër me madhësi 11, mesatare të kampionit 10 dhe variancë të mostrës 2. Për shkallën e besimit 90% me 10 gradë lirie, vlera e njëanshme t nga tabela është 1.372. Pastaj me interval besimi të llogaritur nga

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}},}$ 

ne përcaktojmë se me 90% besim kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet poshtë

${\displaystyle 10+1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585.}$ 

Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag i sipërm llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag i sipërm tejkalon mesataren e vërtetë.

Dhe me 90% besim ne kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet më lart

${\displaystyle 10-1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.414.}$ 

Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag më i ulët llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag më i ulët qëndron nën mesataren e vërtetë.

Kështu që me 80% besim (llogaritur nga 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), kemi një mesatare të vërtetë që shtrihet brenda intervalit

${\displaystyle \left(10-1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},10+1.372{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,10.585).}$