Rrotullimet Dhe Pasqyrimet Në Dy Dimensione

Një rrotullim në aeroplan mund të formohet duke përbërë një çift reflektimesh. Së pari pasqyroni një pikë P në imazhin e saj P′ në anën tjetër të vijës ${\displaystyle L_{1}}$ . Pastaj reflektoni P′ në imazhin e tij P′ ′ në anën tjetër të rreshtit ${\displaystyle L_{2}}$ . Nëse drejtëzat ${\displaystyle L_{1}}$  dhe ${\displaystyle L_{2}}$  bëjnë një kënd θ me njëra-tjetrën, atëherë pikat P dhe P′ ′ do të bëjnë një kënd 2θ rreth pikës O, kryqëzimi i ${\displaystyle L_{1}}$  dhe ${\displaystyle L_{2}}$  . Dmth, këndi ∠ POP′′ do të masë 2θ .

Deklaratat e mësipërme mund të shprehen më matematikisht. Le të shënohet një rrotullim rreth origjinës O me një kënd ${\displaystyle \vartheta }$  si ${\displaystyle \operatorname {Rot(\vartheta )} }$  . Le të shënohet një reflektim rreth një drejtëze L përmes origjinës që bën një kënd ${\displaystyle \vartheta }$  me boshtin ${\displaystyle Ox}$  të shënohet si ${\displaystyle \operatorname {Ref(\vartheta )} }$  . Lërini këto rrotullime dhe reflektime të veprojnë në të gjitha pikat në rrafsh, dhe le të përfaqësohen këto pika me vektorë pozicioni. Pastaj një rrotullim mund të përfaqësohet si një matricë ,

$${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

 

$${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$$

 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}}$$

 

Tabela e mëposhtme jep shembuj të matricave së rrotullimit dhe pasqyrimit :

Lloji	këndi θ	matricë
Rrotullimi	0°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Rrotullimi	${\displaystyle \pm }$  45°	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Rrotullimi	90°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$
Rrotullimi	180°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
Reflektimi	0°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
Reflektimi	45°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$
Reflektimi	90°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Reflektimi	-45°	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$