Qendra E Masës

Kjo është pika në të cilën mund të zbatohet një forcë për të shkaktuar një nxitim drejtëvizor pa një nxitim këndor . Llogaritjet në mekanikë shpesh thjeshtohen kur formulohen në lidhje me qendrën e masës. Është një pikë hipotetike ku e gjithë masa e një objekti mund të supozohet se është e përqendruar për të pamuar (vizualizuar) lëvizjen e tij. Me fjalë të tjera, qendra e masës është e njëvlershmja e grimcave të një objekti të caktuar për zbatimin e ligjeve të lëvizjes së Njutonit .

Në rastin e një trupi të vetëm të ngurtë, qendra e masës është e fiksuar në lidhje me trupin, dhe nëse trupi ka dendësi të njëtrajtshme, ai do të vendoset në qendër . Qendra e masës mund të jetë e vendosur jashtë trupit fizik, siç ndodh ndonjëherë për objektet në formë të zbrazët ose të hapur, të tilla si një patkua . Në rastin e shpërndarjes së trupave të veçantë, siç janë planetët e Sistemit Diellor, qendra e masës mund të mos përkojë me vendodhjen e ndonjë anëtari individual të sistemit.

Qendra e masës është një pikë referimi e dobishme për llogaritjet në mekanikë që përfshijnë masat e shpërndara në hapësirë, të tilla si impulsi drejtëvizor dhe këndor i trupave planetarë dhe dinamika e trupave të ngurtë . Në mekanikën orbitale, ekuacionet e lëvizjes së planetëve formulohen si masa piklsore të vendosura në qendrat e masës. Qendra e sistemit të masës është një sistem referimi inercial në të cilën qendra e masës së një sistemi është në qetësi në lidhje me origjinën e sistemit të koordinatave .

Qendra e masës është pika unike në qendër të një shpërndarjeje të masës në hapësirë që ka vetinë që vektorët e vendodhjes të peshuar në lidhje me këtë pikë të shumojnë në zero. Në analogji me statistikën, qendra e masës është vendndodhja mesatare e një shpërndarjeje të masës në hapësirë.

Një sistem grimcash

Në rastin e një sistemi grimcash ${\displaystyle P_{i}}$ , i = 1, ... , n, secila me masë ${\displaystyle m_{i}}$  që ndodhen në hapësirë me koordinata ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}}$ , i = 1, ... , n, koordinatat R të qendrës së masës plotësojnë kushtin

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}$$

 

$${\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.}$$

 

Një vëllim i vazhdueshëm

Nëse shpërndarja e masës është e vazhdueshme me dendësinë ρ( r ) brenda një trupi Q të ngurtë, atëherë integrali i koordinatave të vendodhjes së peshuar të pikave në këtë vëllim në lidhje me qendrën e masës R mbi vëllimin V është zero, d.m.th.

$${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}$$

 

$${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}$$

 

Koordinatat baricentrike

Koordinatat R të qendrës së masës së një sistemi me dy grimca, P ₁ dhe P ₂, me masa m ₁ dhe m ₂ jepen nga

$${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}).}$$

 

Sisteme me kushte kufitare periodike

Për grimcat në një sistem me kushte kufitare periodike dy grimca mund të jenë fqinje edhe pse janë në anët e kundërta të sistemit. Kjo ndodh shpesh në simulimet e dinamikës molekulare, për shembull, në të cilat disa kllastra formohen në vende të rastësishme dhe ndonjëherë atomet fqinje kalojnë kufirin periodik. Kur një grup kalon kufirin periodik, një llogaritje e painformuar e qendrës së masës do të jetë e pasaktë. Një metodë e përgjithësuar për llogaritjen e qendrës së masës për sistemet periodike është trajtimi i secilës koordinatë, x dhe y dhe/ose z, sikur të ishte në një rreth në vend të një vije. Llogaritja merr koordinatat x të çdo grimce dhe e vendos atë në një kënd,

$${\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }$$

 

${\displaystyle x_{max}}$ 

${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}$ 

${\displaystyle (\xi _{i},\zeta _{i})}$ 

${\displaystyle x_{i}}$ 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}$$

 

${\displaystyle (\xi ,\zeta )}$ 

${\displaystyle \xi _{i}}$ 

${\displaystyle \zeta _{i}}$ 

${\displaystyle {\overline {\xi }}}$ 

${\displaystyle {\overline {\zeta }}}$ 

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}$$

 

Këto vlera janë paraqitur përsëri në një kënd të ri, ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$ , nga e cila mund të merret koordinata x e qendrës së masës:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}$$