Центар Масе

Захваљујући овоме, читав објекат се може третирати као материјална тачка, чија је маса једнака укупној маси система, и његово кретање се може поредити са кретањем овакве материјалне тачке. У центру масе је нападна тачка гравитационе силе која делује на тело.

Тежиште представља тачку на објекту у којој би се налазио центар масе када би објекат био константне густине.

Архимедов закон полуге

Грчки физичар и математичар Архимед је први увео појам центра масе и открио својства полуге. Закон полуге дефинише добијање вишеструке силе на једном њеном крају, променом растојања између ослонца и крајева полуге. Закон је сачињен од седам постулата који су наведени у Архимедовом делу "О равнотежи равних тела или о тежиштима равних тела". Архимед је под тежиштем разумео тачку која има особину да остане у равнотежи кад се за њу обеси тело без обзира на положај који му је дат.

,,Дајте ми ослонац и довољно дугачку полугу и променићу свет."

Центар маса тачака (једнодимензиони систем)

Најједноставнији пример јесте пример клацкалице: Имамо дате две тачке ${\displaystyle S}$  и ${\displaystyle P}$  на крајевима клацкалице са својим масама ${\displaystyle m_{1}}$  и ${\displaystyle m_{2}\ (m_{1},m_{2}\neq 0)}$  што ћемо означити са ${\displaystyle S(m_{1}),\ P(m_{2})}$  и нека је ${\displaystyle T}$  тачка ослонца чији се положај тражи да би клацкалица била у равнотежи. За ${\displaystyle T}$  важи:

${\displaystyle |ST|:|TP|=m_{2}:m_{1}\Longleftrightarrow m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}={\overrightarrow {0}}}$ 

 

Из наведене еквиваленције се закључује да се у тежишту маса ${\displaystyle T}$  силе поништавају.

Увођењем произвољне тачке ${\displaystyle O,}$  може се извести дефиниција тежишта маса тачака ${\displaystyle S(m_{1})}$  и ${\displaystyle P(m_{2})}$ :

${\displaystyle m_{1}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OS}})+m_{2}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OP}})={\overrightarrow {0}}}$ 

Из ове формуле се лако израчунава вектор положаја тачке ${\displaystyle T}$ :

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}})}$ 

Центар масе ${\displaystyle n}$  тачака се израчунава формулом:

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}}$ 

Тежиште троугла

• Тежишна дуж је дуж која спаја теме са центром наспрамне странице.
  • ${\displaystyle S_{2}}$  - центар масе тачака ${\displaystyle P}$  i ${\displaystyle Q}$ 
  • ${\displaystyle SS_{1}}$  - тежишна дуж из ${\displaystyle S}$ 
• Тежиште троугла је центар маса троугла са једнаким оптерећењима/масама у теменима троугла.

Теорема: Тежишне дужи се секу у центру маса.

 

Аналогно претходном случају може се израчунати тежиште масе и за три тачке ${\displaystyle S(m_{1}),}$  ${\displaystyle P(m_{2})}$  и ${\displaystyle Q(m_{3})}$ :

${\displaystyle {\overrightarrow {0}}=m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}+m_{3}{\overrightarrow {TQ}}}$ 

Ово се физички може гледати као троугао од чврстог материјала који је у равнотежи уколико је ослонац у тачки ${\displaystyle T}$ , а маса сконцентрисана у теменима.

Увођењем тачке ${\displaystyle O}$  помоћу претходне формуле се може изести формула за израчунавање вектора положаја:

${\displaystyle {\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}}+m_{3}{\overrightarrow {OQ}})}$ 

Центар масе хомогених тела

Код хомогених тела центар масе се налази у пресеку дијагонала.

Уколико је хомогено тело у облику латиничног слова "L" центар масе се проналази у неколико корака:

1. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 2) . Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж ${\displaystyle AB}$  спаја тежишта ова два четвороугла.
2. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 3). Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж ${\displaystyle CD}$  спаја тежишта ова два четвороугла
3. Пресечна тачка ${\displaystyle (O)}$  дужи ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$  је центар масе овог тела

 

Центар масе дводимензионог система

У зависности од објекта за који се израчунава центар масе постоје два случаја. У дискретном случају када је дато ${\displaystyle n}$  материјалних тела (${\displaystyle n}$  је коначан број), сваки са масом ${\displaystyle m_{i}}$  који су распоређени у некој равни тако да се свако материјално тело налази у тачки ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ 

${\displaystyle M=\sum m_{i}}$  је укупна маса система. Свако тело мора имати момент силе око сваке осе. Одакле следи:

Момент око ${\displaystyle x}$ -осе:

${\displaystyle \mu _{x}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}$ 

Момент око ${\displaystyle y}$ -осе:

${\displaystyle \mu _{y}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}$ 

Тачка ${\displaystyle T}$  која је центар масе система има координате ${\displaystyle T={\frac {1}{M}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}).}$ 

У случају када је дат непрекидан објекат ове се формуле могу уопштити тако што се уместо суме користи ингеграл.

Механички систем

Механички систем представља скуп материјалних тачака или тела где су положаји и кретања свих материјалних тачака или тела међусобно зависни. При томе се претпоставља постојање сила интеракције између појединих честица (тела). Круто тело се може сматрати механичким системом честица од којих је и састављено. Класичан пример механичког система је Сунчев систем. У њему су сва тела повезана међусобним силама интеракције.

Маса система и центар масе система

Кретање система ће сигурно зависити, осим од сила које делују на њега, од укупне масе система и расподеле масе у систему. Маса система је једнака аритметичкој средини маса свих честица (тела) које га чине ${\displaystyle m=\sum _{k}m_{k}}$ . При разматрању кретања крутих тела и других механичких система од важности је тачка која се назива центром масе. Ако се систем састоји од коначног броја тачака, чије масе су ${\displaystyle m_{1},m_{2}...,m_{k}...,m_{n}}$  (${\displaystyle n}$  је укупан број тих тачака), центром масе се назива тачка ${\displaystyle C}$  чији је вектор положаја ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$  одређен изразом

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ = ${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{m}}}$ 

где су ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ , ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ ..., ${\displaystyle {\vec {r}}_{k}}$ ..., ${\displaystyle {\vec {r}}_{n}}$  вектори положаја у односу на одабрану тачку ${\displaystyle O.}$ 

У Декартовом координатном систему, координате положаја центра масе су одређене са:

${\displaystyle x_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}x_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$ 

${\displaystyle y_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$ 

${\displaystyle z_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}z_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}}$ 

Треба приметити да центар масе није материјална тачка, већ се ради о геометријској тачки.

Центар масе не мора бити ни на једној од материјалних тачака (или телу, ако је оно у питању). Центар масе карактерише расподелу масе у механичком систему (или телу). У случају крутих тела, која имају континуалну расподелу масе, мора се размишљати на "диференцијални" начин. У мислима тело ће се поделити на елементарне масе ${\displaystyle dm,}$  па израз за центар масе тела поприма облик

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ =${\displaystyle {\frac {\int \limits _{m}\,{\vec {r}}\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$ 

У Декартовим координатама, координате положаја центра масе тела су дате са

${\displaystyle x_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,x\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$ 

${\displaystyle y_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,y\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$ 

${\displaystyle z_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,z\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}}$ 

 

Центар масе има важан утицај у астрономији и астрофизици, где се обично назива и барицентар. Барицентар је тачка између два објекта у којој они балансирају између себе; то је центар масе где два или више небеских тела круже једни око других.

Маса Месеца, иако 81,3 пута мања од масе Земље, није занемарљива. Она делује на Земљу и заправо Месец не кружи око Земље, већ Месец и Земља осцилирају око једне заједничке тачке - барицентра. И заправо тачка у којој се налази барицентар обилази Сунце по елиптичној путањи док центри Месеца и Земље осцилирају око те тачке.