Masas Centrs

Masas centrs sakrīt ar smaguma centru, ja objekts atrodas viendabīgā gravitācijas laukā. Masas centrs var atrasties kā objekta iekšienē, tā arī ārpus tā.

Masas centru materiāliem punktiem var aprēķināt pēc formulas:

${\displaystyle x_{mc}={\frac {\sum {m_{i}x_{i}}}{\sum {m_{i}}}}}$ , kur ${\displaystyle x_{mc}}$  ir masas centra koordināte, ${\displaystyle m_{i}}$  ir masa i-tajam punktam un ${\displaystyle x_{i}}$  ir koordināte i-tajam punktam. Piemēram, planētas un zvaigznes savstarpējo rotāciju vai pavadoņa un planētas savstarpējo rotāciju var apskatīt ar masas centra palīdzību.

Ja nepieciešams atrast masas centru 3 dimensiju objektam, var aprēķināt masas centru katrai dimensijai atsevišķi.

Piemērs

• Atrast sistēmas Zeme-Mēness masas centru.

Zemes masa ir 5,97 * 10^24 kg, Mēness masa ir 7,35 * 10 ^22 kg, attālums starp Zemi un Mēnesi ir 3,84 * 10^5 km. Pieņemot Zemi par atskaites punktu un ievietojot formulā, iegūst:

${\displaystyle x_{mc}={\frac {5,98\cdot 10^{24}\cdot 0+7,35\cdot 10^{22}\cdot 3,84\cdot 10^{5}}{5,97\cdot 10^{24}+7,35\cdot 10^{22}}}\approx 4670\ km}$ 

Tā kā Zemes rādiuss ir ~ 6370 km, tad sistēma Zeme-Mēness griežas ap baricentru, kas ir Zemes iekšienē.

 

Masas centru nepārtrauktam 1 dimensijas ķermenim var aprēķināt pēc integrāļa:${\displaystyle x_{mc}={\frac {1}{M}}\int {xdm}}$ , kur ${\displaystyle M}$  ir masu summa, ${\displaystyle dm}$  ir ķermeņa masa kāda koordinātā ${\displaystyle x}$ .

Piemērs

• Dots horizontāls lauks, jāaprēķina darbu kas jāveic, lai izceltu pussfēras formas bedres zemi līdz zemes līmenim, ja bedres rādiuss ir ${\displaystyle R}$ , zemes blīvums ir ${\displaystyle \rho }$  un brīvās krišanas paātrinājums ir ${\displaystyle g}$ .

Vispirms var novērot, ka, ja tiek atrasts šīs pussfēras masas centrs ${\displaystyle h_{mc}}$ , tad iespējams aprēķināt nepieciešamo darbu ar formulu ${\displaystyle A=mgh}$ , kur ${\displaystyle A}$  ir darbs, ${\displaystyle m}$  ir visa masa un ${\displaystyle h}$  ir augstums līdz zemes virsmai.

Visas zemes masa pussfēras bedrei ir ${\displaystyle M=\rho V={\frac {2\rho R^{3}}{3}}}$ .

Integrāli var pārrakstīt kā ${\displaystyle h_{mc}={\frac {1}{M}}\int {\rho xdV}}$ , kur ${\displaystyle dV}$  ir tilpuma gabals. Izsakot ${\displaystyle dV=S\cdot dh}$  un ${\displaystyle S=\pi \cdot (R^{2}-dh^{2})}$  var ievietot atpakaļ integrālī ar robežām ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle R}$ : ${\displaystyle h_{mc}={\frac {1}{M}}\int _{0}^{R}{\rho x\pi (R^{2}-dh^{2})dh}={\frac {1}{M}}(({\frac {\rho \pi R^{4}}{2}}-{\frac {\rho \pi R^{4}}{4}})-0)={\frac {\rho \pi R^{4}}{4M}}}$ . Ievietojot pussfēras tilpuma formulu iegūst: ${\displaystyle h_{mc}={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {2\rho R^{3}}{3}}\cdot {\frac {3R}{8}}={\frac {M}{M}}\cdot {\frac {3R}{8}}={\frac {3R}{8}}}$ .

Ievietojot darba formulā ${\displaystyle A=Mgh_{mc}={\frac {2\rho R^{3}}{3}}\cdot {\frac {3R}{8}}\cdot g={\frac {\rho gR^{4}}{4}}}$ .

Masas centrs pēc simetrijām

Ja visam objektam ir vienāds blīvums, tad atrodot jebkādu simetrijas asi, masas centrs atradīsies uz šīs ass. Atrodot divas šādas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs.

• Svērtais vidējais