Ekuacioni I Helmholcit

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}$,

ku ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ është operatori i Laplasit, ${\displaystyle k}$ është një konstante, dhe funksioni i panjohur ${\displaystyle A=A(x,y,z)}$ është i përcaktuar në një hapësirë Euklidiane n-dimensionale Rⁿ (tipikisht n=1, 2, ose 3, ne raste kur zgjidhja e ekuacionit ka kuptim fizik).

Membrana vibruese

Analogja dy-dimensionale e nje korde vibruese është membrana vibruese, me cepa te fisuar ne menyre qe ato te mos levizin. Ekuacioni i Helmholcit u zgjidh per shume forma te ndryshme ne shekullin e 19-te: membrana rektangulare nga Simeon Denis Puason ne 1829, trekendeshi barabrinjes nga Gabriel Lame ne 1852, dhe membrana rrethore nga Alfred Klebsh ne 1862. Daullja eliptike u studiua nga Emile Mathju, nga e cila doli ekuacioni diferencial i Mathjut. Format e zgjedhura i korrespondojne formave tabela dinamike e bilardos e se cilave është e integrueshme, pra jo kaotike. Kur levizja ne nje tabele bilardoje korresponduese është kaotike, atehere nuk njihet ndonje forme e mbyllur analitike e ekuacionit te Helmholcit. Studimi i sistemeve te tilla njihet si kaosi kuantik, sepse ekuacioni i Helmholcit dhe ekuacione te tjera te ngjashme hasen shpesh ne mekaniken kuantike.

Neqoftese cepat e nje forme jane segmente vijash te drejta, atehere zgjidhja është e integrueshme ose mund te nmerret ne forme te mbyllur vetem neqoftese ajo mund te shprehet si nje kombinim linear i valeve planare qe kenaqin konditat kufitare (ne kufi te jete zero, pra., membrane e fiksuar).

Nje situate interesante ndosh me nje forme ku gjysma e zgjidhjes është e integrueshme kurse pjesa tjeter s'është. Një formë gjeometrike e thjeshtë ku kjo ndodh është gjashtekendshi i rregullt. Neqoftese paketa valore qe pershkruan nje top bilardoje kuantik perbehet vetem nga zgjidhje qe kane formen e mbyllur, levizja e saj nuk do te jete kaotike, por neqoftese perfshime horma zgjidhjeje pa forme te mbyllur analitiek, levizja e topit te bilardos kuantike behet kaotike. Nje forme tjeter e thjështë ku kjo ndodh është me nje forme "L"-je duke reflektuar nje katror poshte dhe pastaj ne te djathte.

Neqoftese fusha e percaktimit është nje rreth me rreze a, atehere duhet te paraqesim kordinatat polare r dhe θ. Ekuacioni i Helmholcit merr formen

${\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.}$ 

Tani mund te impozojme konditat kufitare ne menyre qe A te zhduket nneqoftese r=a; pra

${\displaystyle A(a,\theta )=0.\,}$ 

Metoda e ndarjes se variablave nxjerr zgjidhje shume te thjeshta te formes

${\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,}$ 

ku Θ duhet te jete perodike me periode 2π. Kjo jep

${\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,}$ 

dhe

${\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,}$ 

Tani nga kondita e periodicitetit del qe

${\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,}$ 

si dhe n duhet te jete nje numer i plote. Komponenti rrezor R ka formen

${\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,}$ 

ku funksioni Bezel J_n(ρ) kenaq ekuacionin e Bezelit

${\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}$ 

dhe ρ=kr. Funksioni rrezor J_n ka nje numer te pafundem rrenjesh per cdo vlere te n, te dhene nga ρ_m,n. Kondita kufitare qe A te zhduket kur r=a kenaqet vetem kur frekuancat kooresponduese jepen nga

${\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.\,}$ 

Zgjidhaj e pergjithsheme A merr formen e nje shume te pafundme te dyfishte te termave q perfshine produktet e

${\displaystyle \sin(n\theta )\,{\hbox{or}}\,\cos(n\theta ),\,{\hbox{and}}\,J_{n}(k_{m,n}r).}$ 

Keto zgjedhje jane modat e vibrimit te nje daulleje rrethore.

Zgjidhjet tre dimensionale

• M. Abramowitz and I. Stegun eds., Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.

• Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.

• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16. ISBN 1-891389-24-6.

• Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. Kapitulli 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, New York, 1949.

• Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63320-6.

• Helmholtz Equation tek EqWorld: Bota e Ekuacioneve matematike.
• Vibrating Circular Membrane Nga Sam Blake