Przyspieszenie: Wektorowa wielkość fizyczna

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Przyspieszenie

Rodzaj wielkości	wektorowa
Symbol	${\displaystyle {\vec {a}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ ${\displaystyle a}$
Jednostka SI	m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI	${\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$
Wymiar	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T^{2}}} }$
Multimedia w Wiki Commons
Hasło w Wikisłowniku

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

 

Jeżeli dany wektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$  określa położenie punktu materialnego, a wektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$  określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}}$  jest pochodną prędkości po czasie:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.}$ 

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.}$ 

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

${\displaystyle [{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}$ 

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}}$  ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły ${\displaystyle {\vec {F}}}$  działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała ${\displaystyle m.}$  Kierunek i zwrot przyspieszenia ${\displaystyle {\vec {a}}}$  pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły ${\displaystyle {\vec {F}}.}$  Wzór wyrażający tę zależność ma postać

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}$ 

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}$ 

W ruchu jednostajnie zmiennym

Gdy przyspieszenie jest stałe (${\displaystyle a=\mathrm {const} }$ ), wzór definicyjny przybiera postać

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},}$ 

gdzie ${\displaystyle \Delta v}$  jest przyrostem prędkości w czasie ${\displaystyle \Delta t.}$ 

 

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym, wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$ ) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. ${\displaystyle {\vec {a}}_{t}}$ ).

Wektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$  przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$  i stycznej ${\displaystyle {\vec {a}}_{t}{:}}$ 

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.}$ 

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

${\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.}$ 

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Osobny artykuł: Przyspieszenie dośrodkowe.

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako ${\displaystyle v,}$  a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi ${\displaystyle r,}$  to wartość ${\displaystyle a_{n}}$  przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.}$ 

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie ${\displaystyle v}$  dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie ${\displaystyle s}$  dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne ${\displaystyle a_{t}}$  określają wzory:

${\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}$ 

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt ${\displaystyle \alpha ,}$  a ${\displaystyle \omega }$  oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego ${\displaystyle \varepsilon }$  określa wzór

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.}$ 

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Niech współrzędne krzywoliniowe ${\displaystyle q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)}$  tworzą układ współrzędnych w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}.}$  Oznaczmy przez ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}}$  wersory kierunków stycznych do osi tego układu.

Jeżeli ${\displaystyle \mathbf {a} }$  jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.}$

(1)

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}}$ 

zatem

${\displaystyle a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].}$

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

(3)

mamy

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

(4)

i dzięki temu

${\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

(5)

Mamy również

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

(6)

oraz

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.}$

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.}$

(8)

Mamy zatem

${\displaystyle \mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.}$

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów ${\displaystyle a_{i}}$  wektora przyspieszenia ${\displaystyle \mathbf {a} }$  na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.}$

(9)

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

• grawitacja
• przyspieszenie grawitacyjne
• przyspieszenie ziemskie