Tiesės krypties koeficientas – skaičius, apibūdinantis tiesės kryptį ir nuolydį.
Lietuviškuose šaltiniuose krypties koeficientas dažniausiai žymimas raide k (nuo žodžio koeficientas), o užsienio literatūroje – m.
Norint sužinoti krypties koeficientą, reikia apskaičiuoti „vertikalaus pokyčio“ ir „horizontalaus pokyčio“ tarp bet kurių dviejų skirtingų tiesės taškų santykį. „Vertikaliu pokyčiu“ vadinamas aukščių skirtumas tarp taškų y1 ir y2, kitaip tariant „vertikalus pokytis“ yra (y2 − y1) = Δy. „Horizontalus pokytis“ yra ilgių skirtumas tarp taškų x1 ir x2, t. y., (x2 − x1) = Δx.
Taigi matematiškai tiesės krypties koeficientą k galima užrašyti taip:
Krypties koeficientas tiesiogiai naudojamas geografijoje (šlaitams, gradientams) ir civilinėje inžinerijoje. Remiantis trigonometrija, galima pastebėti, jog krypties koeficientas susijęs su nuolydžio kampu θ per tangento funkciją:
Taigi 45° didėjančios tiesės krypties koeficientas yra 1, o 45° mažėjančios –1.
Apibendrinant šį apibūdinimą, matematikos diferencialinio skaičiavimo atšaka, nurodo, kad kreivės krypties koeficientas tam tikrame taške yra liestinės krypties koeficientas tame pačiame taške.
Koordinačių sistemoje, turinčioje x ir y ašis (Dekarto koordinačių sistema) tiesės krypties koeficientas dažniausia žymimas raide k ir yra apibrėžiamas kaip pokyčio ordinačių ašyje ir atitinkamo pokyčio abscisių ašyje tarp dviejų skirtingų tiesės taškų dalmuo. Šį apibrėžimą matematiškai galima pavaizduoti taip:
(Graikų abėcėlės raidė delta, Δ, matematikoje naudojama nurodant skirtumą arba pokytį)
Jei duoti du tiesės taškai (x1,y1 ir x2,y2), tai jų pokytis X ašyje yra x2 − x1, o jų pokytis Y ašyje yra y2 − y1. Įstačius šias vertes į aukščiau pateiktą lygybę, gaunama formulė:
Ši formulė negali būti naudojama vertikaliai linijai (linijai, lygiagrečiai Y ašiai), nes jos pokytis x ašyje yra nulis, o dalyba iš nulio yra neapibrėžtas reiškinys; tokios tiesės krypties koeficientas gali būti laikomas begaliniu, taigi vertikalios linijos krypties koeficientas yra neapibrėžtas.
Tarkime, kad tiesei priklauso taškai A (1; 2) ir B (13; 8). Krypties koeficientą galima sužinoti, dalinant y koordinačių skirtumą iš x koordinačių skirtumo:
Kitas pavyzdys. Linija eina per taškus (4; 15) ir (3; 21). Jos krypties koeficientas:
tai k yra krypties koeficientas.
Jeigu k > 0, kampas θ yra smailusis, jeigu k < 0 - bukasis, kai k = 0 tiesė yra lygiagreti Ox ašiai.
Tarkime, kad tiesė eina per taškus (2; 8) ir (3; 20). Šios tiesės krypties koeficientas k yra
Kitas pavyzdys. Turime dvi tieses y = -3x + 1 and y = -3x – 2. Abiejų tiesių krypties koeficientai k= -3. Šios tiesės nėra sutampančios. Taigi jos yra lygiagrečios.
Turime dvi tieses y = -3x + 1 and y = x/3 – 2. Pirmosios tiesės krypties koeficientas k1 = -3. Antrosios tiesės krypties koeficientas k2 = 1/3. Šių krypties koeficientų sandauga lygi -1. Taigi duotosios tiesės susikerta stačiu kampu.
Kelio arba geležinkelio šlaitas inžinerijoje ir geografijoje yra susijęs su krypties koeficiento sąvoka, nes nurodo aukščio ir kelio santykį. Šlaito statumą galima nurodyti dviem būdais: kampu tarp kelio tiesės ir horizonto linijos (nuo 0° iki 90°) arba procentais.
Formulės, nurodančios, kaip laipsnius paversti procentais ir atvirkščiai:
Kampas nurodomas laipsniais. Pavyzdžiui, 100% arba 1000‰ šlaitas turi 45° kampą.
Krypties koeficientas yra viena pagrindinių diferencialinio skaičiavimo sąvokų. Netiesinių funkcijų kitimo tempas skirtingose kreivės vietose skiriasi. Funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra tos funkcijos liestinės krypties koeficientas tame pačiame taške; todėl jis yra lygus funkcijos kitimo tempui tame taške.
Tarkime, kad Δx ir Δy yra atstumai (atitinkamai X ir Y ašyse) tarp dviejų kreivės taškų. Tuomet, pagal apibrėžimą, krypties koeficientas
yra kirstinės krypties koeficientas. Tiesės atveju, kirstinė tarp dviejų jos taškų sutampa su pačia tiese, tačiau taip nėra su jokia kita kreive. Kreivės liestinės krypties koeficientas parodo liestinės, o kartu ir tos kreivės pasvirimą taške x = a.
Pavyzdžiui, kirstinės, kertančios kreivė y = x2 taškuose (0; 0) ir (3; 9), krypties koeficientas yra 3.
Dviem taškams artėjant vienas prie kito taip, kad Δy ir Δx mažėtų, kreivės kirstinė tampa vis panašesnė į kreivės liestinę, o kirstinės krypties koeficientas artėja prie liestinės krypties koeficiento. Naudojant diferencialinį skaičiavimą galima nustatyti ribą, prie kurios artėja Δy/Δx, kai Δy ir Δx artėja prie nulio; ši riba yra tiksli liestinės krypties koeficiento vertė. Kai y priklauso nuo x, pakanka apskaičiuoti ribą, kai tik Δx artėja prie nulio. Taigi liestinės krypties koeficientas yra riba Δy/Δx, kai Δx artėja prie nulio. Ši riba vadinama išvestine:
Jos vertė tam tikrame funkcijos taške yra liestinės tame pačiame taške krypties koeficientas.
This article uses material from the Wikipedia Lietuvių article Krypties koeficientas, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Turinys pateikiamas pagal CC BY-SA 4.0 jei nėra nurodyta kitaip. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Lietuvių (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.