Coefficiente Angolare

Spesso indicato con ${\displaystyle m}$, stabilisce insieme all'intercetta delle ordinate ${\displaystyle q}$ una e una sola retta nel piano cartesiano, mediante la formula:

${\displaystyle y=mx+q.}$

Il coefficiente angolare di una retta non verticale è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta. Per una retta verticale, il coefficiente angolare non è definito in quanto la definizione comporterebbe una divisione per zero.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale di una retta, ${\displaystyle ax+by+c=0}$ , se ${\displaystyle b\neq 0}$  (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

${\displaystyle m=-{\frac {a}{b}}.}$ 

Infatti, ponendo ${\displaystyle q=-{\frac {c}{b}}}$ , la retta (non verticale) si esprime mediante l'equazione ${\displaystyle y=mx+q}$ . Allora siano ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  e ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$  due punti distinti della retta:

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\quad \Rightarrow \quad m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\quad \Rightarrow \quad m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$ 

Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine è la tangente goniometrica dell'angolo ${\displaystyle \alpha }$  (con segno positivo) formato dal semiasse positivo delle ascisse e la parte di retta giacente nel semipiano superiore (ossia il semipiano corrispondente ai punti di ordinata positiva): la retta infatti passa per il punto di coordinate ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$  (tale punto è l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica), quindi

${\displaystyle m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha .}$ 

Poiché due rette in forma generale, ${\displaystyle ax+by+c=0}$  e ${\displaystyle a'x+b'y+c'=0}$ , sono perpendicolari esattamente quando ${\displaystyle aa'+bb'=0}$ , ne segue che due rette (non verticali) ${\displaystyle y=mx+q}$  e ${\displaystyle y=m'x+q'}$  sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

${\displaystyle mm'=-1.}$ 

Questa condizione può essere riscritta come ${\displaystyle m'=-{\frac {1}{m}}}$ , ed espressa dicendo che ${\displaystyle m'}$  è l'antireciproco (opposto del reciproco) di ${\displaystyle m}$ .

Data una retta descritta come grafico della funzione ${\displaystyle f(x)=mx+q}$ , la derivata della funzione è proprio il coefficiente angolare della retta: ${\displaystyle f'(x)=m}$ .

• Derivata
• Grafico di una funzione
• Intercetta
• Retta nel piano cartesiano
• Tangente (matematica)

•   Wikizionario contiene il lemma di dizionario «coefficiente angolare»

• coefficiente angolare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) slope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Slope, su MathWorld, Wolfram Research.  

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