Runa

Óformlega má líta á runu sem keðju af fyrirbærum sem koma eitt á fætur öðru, og enginn endir er á. Dæmi um runur væri:

• ${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7...}$
• ${\displaystyle 5,10,15,20,25,...}$
• ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,...}$ (Fibonacci-runa)
• ${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,...}$ (Fastarunan 1)

Runu má hugsa sér sem fall með formengið ${\displaystyle \mathbb {N} }$ og því gilda ýmis hugtök úr fallafræði um þær. Runa er gjarnan táknuð, líkt og fjölskyldur almennt, með svigum, t.d. ${\displaystyle (a)}$. Þá er það oft ritað ${\displaystyle (a)_{n\in \mathbb {N} }}$, til þess að gefa til kynna að um sé að ræða fjölskyldu þar sem að hvert stak hefur vísi úr mengi náttúrlegra talna. Þá er n-ta stak rununnar táknað ${\displaystyle a_{n}}$.

Runa er sögð vaxandi ef hún stækkar eftir því sem á líður, þ.e., að fyrir öll n gildir ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ . Sömuleiðis er runa sögð minnkandi ef að hún minnkar, þ.e., að fyrir öll n gildir ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$ .

Runur sem eru annað hvort vaxandi eða minnkandi eru kallaðar einhalla.

Hlutruna er búin til úr runu með því að eyða nokkrum gildum út úr runu. Til dæmis væri hægt að smíða runu úr þriðja hverju gildi annarrar runu:

${\displaystyle b_{n}=a_{3n}}$ 

Hafi runa grannmynstur getur hún verið samleitin. Runa er sögð samleitin ef að hún hefur markgildi.

Formlega, fyrir runu ${\displaystyle (a)_{n}}$ , ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , á firðrúmi ${\displaystyle M}$  með firð ${\displaystyle d}$ , þá fyrir ${\displaystyle L\in M}$  segjum við að ${\displaystyle L}$  sé markgildi rununnar og ritum:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ 

${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow d(a_{n},L)<\epsilon .\;}$ 

Það er að segja, að fyrir öll ${\displaystyle \epsilon }$  sem eru stærri en 0, þá sé til tala N, þannig að ef að n > N þá sé fjarlægðin milli ${\displaystyle a_{n}}$  og L minni en ${\displaystyle \epsilon }$ .

Runa er takmörkuð ef til er endanleg tala M, þ.a. |${\displaystyle a_{n}}$ | < M fyrir öll n. Runa, sem ekki er takmörkuð kallast ótakmörkuð runa. Til dæmis getur runa haft markgildi og þá sögð vera samleitin en ósamleitin ef hún hefur ekki markgildi. Ef að fjarlægð milli staka minnkar eftir því sem líður á rununa kallast runan Cauchyruna á firðinni sem fjarlægðin er mæld með.

Röð er runa af summum annarar runu. Til dæmis ef (x₁, x₂, x₃, ...) er runa, þá má skoða hlutsummurununa (S₁, S₂, S₃, ...), með

${\displaystyle S_{n}=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}.}$ 

   Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.

• Röð
• Fjölskylda
• Mengi
• Mengjafræði
• N-nd