Դուք կարող եք բարելավել թարգմանությունը։ Օրիգինալ տեքստը կարող եք գտնել ձախ կողմի «այլ լեզուներով» ենթաբաժնում։Եթե յոթ օրվա ընթացքում բովանդակությունը չվերանայվի, հոդվածը կջնջվի։ Հոդվածը պիտակողին՝ խնդրում ենք տեղադրել այս } հաղորդագրությունը հոդվածը ստեղծած մասնակցի քննարկման էջում։ Հոդվածը պիտակվել է՝ 2024,4,6-ին։Մեքենական թարգմանությունը ենթակա է ջնջման առանց զգուշացման։
Ուշադրություն։ Հոդվածը պարունակում է չթարգմանված բաժիններ կամ հատվածներ։ Ոչ հայերեն հատված(ներ)ը անհրաժեշտ է թարգմանել կամ հեռացնել, հակառակ դեպքում հոդվածը կամ տվյալ բաժինը ենթակա է ջնջման։ |
Էվկլիդեսի թեորեմ, թվերի տեսության հիմնարար պնդում, պարզ թվերի անսահման շատ լինելու մասին։ Այն առաջին անգամ ապացուցվել է Էվկլիդեսի կողմից իր «Տարրեր» աշխատությունում։ Թեորեմի մի քանի ապացույցներ կան.
Էվկլիդեսն առաջարկեց ապացույց, որը հրապարակվել է իր «Տարրեր» աշխատության մեջ (Գիրք IX, Առաջարկ 20), որը վերափոխված է այստեղ։
Դիտարկենք պարզ թվերի ցանկացած վերջավոր ցուցակ p1, p2, ..., pn.։ Կցուցադրվի, որ կա առնվազն մեկ լրացուցիչ պարզ թիվ, որը չկա այս ցանկում։ Թող P լինի ցուցակի բոլոր պարզ թվերի արտադրյալը. P = p1p2...pn. Թող q = P + 1. Այնուհետև q-ն կամ պարզ է, կամ ոչ.
Հաճախ սխալմամբ հաղորդվում է, որ Էվկլիդեսը ապացուցել է այս արդյունքը հակասությամբ, որը սկսվում է այն ենթադրությունից, որ ի սկզբանե դիտարկված վերջավոր բազմությունը պարունակում է բոլոր պարզ թվերը, թեև դա իրականում ուղղակի ապացուցման մեթոդ ՝: Փիլիսոփա Տորկել Ֆրանցենը տրամաբանության մասին գրքում նշում է. «Էվկլիդեսի ապացույցի մեջ կան անսահման շատ պարզ թվեր, անուղղակի ապացույց չէ։ Փաստարկը երբեմն ձևակերպվում է որպես անուղղակի ապացույց՝ այն փոխարինելով «Ենթադրենք q1» ենթադրությամբ։, ... qn-ը բոլոր պարզերն են։ Այնուամենայնիվ, քանի որ այս ենթադրությունը նույնիսկ չի օգտագործվում ապացուցման մեջ, վերաձևակերպումն անիմաստ է։
Էվկլիդեսի ապացույցի մի քանի ձևակերպումներ կան.
n-ի ֆակտորիալ n! դրական ամբողջ թվի համար n-ը բաժանվում է 2-ից մինչև n-ի յուրաքանչյուր ամբողջ թվի, քանի որ այն բոլորի արտադրյալն է։ Հետևաբար, n! + 1-ը չի բաժանվում 2-ից մինչև n ամբողջ թվերից որևէ մեկի վրա, ներառյալ (յուրաքանչյուրի վրա բաժանելու դեպքում տալիս է 1 մնացորդ)։ Ուստի n! + 1-ը պարզ է կամ բաժանվում է n-ից մեծ պարզ թվի։ Երկու դեպքում էլ, յուրաքանչյուր n դրական ամբողջ թվի համար կա առնվազն մեկ պարզ, որը մեծ է n-ից։ Եզրակացություն, պարզ թվերն անսահման են։
Մեկ այլ ապացույց՝ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլերի կողմից, հիմնված է թվաբանության հիմնարար թեորեմի վրա. յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ ունի եզակի պարզ ֆակտորիալ։ Այն, ինչ գրել է Էյլերը (ոչ այս ժամանակակից նշումով և, ի տարբերություն ժամանակակից ստանդարտների, գումարների և արտադրյալների փաստարկները չսահմանափակելով ամբողջ թվերի որևէ վերջավոր բազմությամբ) համարժեք է այն հայտարարությանը, որ մենք ունենք։
որտեղ նշանակում է k առաջին պարզ թվերի բազմություն և այն դրական ամբողջ թվերի բազմությունն է, որոնց հիմնական գործակիցները բոլորը են։
Դա ցույց տալու համար արտադրյալի յուրաքանչյուր գործակիցը ընդլայնվում է որպես երկրաչափական շարք և բաշխում է արտադրյալը գումարի վրա (սա Էյլերի բանաձևի հատուկ դեպքն է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի համար)։
Նախավերջին գումարում պարզ թվերի յուրաքանչյուր արտադրյալ նշվում է ուղիղ մեկ անգամ, և հետևաբար վերջին հավասարությունը ճշմարիտ է թվաբանության հիմնարար թեորեմով։ Այս արդյունքը իր առաջին հետևանքում Էյլերը նշում է նման նշանով « բացարձակ անսահմանություն » և գրում, հայտարարության մեջ անսահման գումարը հավասար է , որին, հետևաբար, հավասար է նաև անսահման արտադրյալը (ժամանակակից տերմինաբանության մեջ դա համարժեք է նրան, որ մասնակի գումարը մինչև 𝑥 ներդաշնակ շարքը շեղվում է ասիմպտոտիկ նման 𝑥) Այնուհետև իր երկրորդ եզրակացության մեջ Էյլերը նշում է, որ
համընկնում է 2-ի վերջավոր արժեքին, և որ հետևաբար կան ավելի շատ պարզ թվեր, քան քառակուսիներ։ Սա ապացուցում է Էվկլիդեսի թեորեմը։
Նույն աշխատության մեջ (Թեորեմ 19) Էյլերը փաստորեն օգտագործեց վերը նշված հավասարությունը՝ ապացուցելու թեորեմը, որն իրենից առաջ անհայտ էր, այն է, որ շարքը.
դիֆերենտ է, որտեղ P-ն նշանակում է բոլոր պարզ թվերի բազմություն (Էյլերը գրում է, որ անսահման գումարը , որը ժամանակակից տերմինաբանությամբ համարժեք է ասելու, որ մասնակի գումարը մինչև 𝑥 շարքն ասիմպտոտիկ է ).
Պոլ Էրդոսը ապացույց է տվել որը նույնպես հիմնված է թվաբանության հիմնարար թեորեմի վրա։ Յուրաքանչյուր դրական ամբողջ թիվ ունի եզակի ֆակտորիալ առանց r քառակուսու և s2քառակուսի թվերի։ Օրինակ, 75,600 = 24 33 52 71 = 21 ⋅ 602.
Թող N լինի դրական ամբողջ թիվ, և թող K-ն լինի N-ից փոքր կամ հավասար պարզ թվեր։ Այդ պարզ թվերն անվանեք p1, ..., pk: Ցանկացած դրական ամբողջ թիվ, որը փոքր է կամ հավասար է N-ին, այնուհետև կարելի է գրել հետյալ ձևով
որտեղ յուրաքանչյուր ei կամ 0 է կամ 1։ Կան 2k a-ի քառակուսի ազատ մասի ձևավորման եղանակներ. Եվ s2 կարող է լինել առավելագույն N։ Այլ կերպ ասած,
Կամ, վերադասավորելով k, պարզ պարզերի թիվը N-ից փոքր կամ հավասար է, մեծ կամ հավասար է 12log2 N. Քանի որ N-ը կամայական էր, k-ն կարող է լինել այնքան մեծ, որքան ցանկանում եք՝ համապատասխանաբար ընտրելով N:
1950-ականներին Հիլել Ֆուրստենբերգը ներկայացրեց հակասության ապացույց՝ օգտագործելով կետային տոպոլոգիա։
Սահմանենք Z ամբողջ թվերի վրա տոպոլոգիա, որը կոչվում է հավասարաչափ տարածված ամբողջ թվերի տոպոլոգիա՝ U ⊆ Z ենթաբազմությունը հայտարարելով բաց բազմություն, այն և միայն այն դեպքում, եթե դա դատարկ բազմություն է, ∅, կամ թվաբանական հաջորդականությունների միություն S( a, b) (a ≠ 0-ի համար), որտեղ
Այնուհետև հակասություն է բխում այն հատկությունից, որ ամբողջ թվերի վերջավոր բազմությունը չի կարող բաց լինել, և այն հատկությունը, որով S(a, b) հիմնական բազմությունները և բաց են և փակ, քանի որ
չի կարող փակվել, քանի որ դրա լրացումը վերջավոր է, բայց փակ է, քանի որ այն փակ բազմությունների վերջավոր նազմություն է։
Խուան Պաբլո Պինասկոն գրել է հետևյալ ապացույցը
Թող p1, ..., pN լինի ամենափոքր N պարզ թվերը։ Այնուհետև ներառում-բացառման սկզբունքով x-ից փոքր կամ հավասար դրական ամբողջ թվերը, որոնք բաժանվում են այդ պարզ թվերից մեկի վրա.
Բաժանելով x-ի և թույլ տալով x → ∞ տալիս է
Սա կարելի է գրել այսպես
Եթե p1, ..., pN այլ թվեր չկան,ապա (1) արտահայտությունը հավասար է և (2)-ի արտահայտությունը հավասար է 1-ի, բայց ակնհայտորեն (3)-ի արտահայտությունը հավասար չէ 1-ի։ Հետևաբար, պետք է ավելի շատ պարզ թվեր լինեն, քան p1, ..., pN։
2010 թվականին Ջունհո Պիտեր Ուանգը հակասականորեն հրապարակեց հետևյալ ապացույցը։ Թող K-ն լինի ցանկացած դրական ամբողջ թիվ։ Այնուհետև Լեժանդրի բանաձևով (երբեմն վերագրվում է դե Պոլինյակին)
որտեղ
Բայց եթե գոյություն ունեն միայն վերջավոր թվով պարզ թվեր, ապա
(կոտորակի համարիչը կմեծանա եզակի էքսպոնենցիալ, մինչդեռ Ստերլինգի մոտավորմամբ հայտարարն աճում է ավելի արագ, քան առանձին էքսպոնենցիալ), հակասելով այն փաստին, որ յուրաքանչյուր k-ի համար համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին։
Ֆիլիպ Սաիդակը շինարարությամբ տվել է հետևյալ ապացույցը, որը չի օգտագործում կամ Էվկլիդեսի լեմման (որ եթե պարզ p-ը բաժանում է ab, ապա այն պետք է բաժանվի a կամ b).
Քանի որ 1-ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն մեկ պարզ գործակից, և երկու հաջորդական թվերը n և (n+ 1) ընդհանուր գործակից չունեն, n(n+ 1) արտադրյալն ունի ավելի պարզ գործակիցներ, քան ինքը n թիվը։ Այսպիսով, թվերի շղթան.
1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2, 3, 7}, 42×43 = 1806 {2, 3, 7, 43}, 1806×1807 = 3263442 {2, 3, 7, 43, 13, 139}, · · ·
ապահովում է պարզ թվերի անսահմանափակ աճող բազմությունների հաջորդականություն։
Ենթադրենք, եղել են միայն k պարզ թվեր (p1, ..., pk)։ Թվաբանության հիմնարար թեորեմի համաձայն՝ ցանկացած դրական ամբողջ n թիվ կարող է ներկայացվել որպես
Սա շատ ավելի արդյունավետ կոդավորում է, քան n-ն ուղղակիորեն երկուական տարբերակով ներկայացնելը, որը տևում է բիթ։ Տվյալների անկորուստ սեղմման հաստատված արդյունքը նշում է, որ ընդհանուր առմամբ չի կարելի սեղմել տեղեկատվության N բիթերը N-ից պակաս բիթերի։ Վերոնշյալ ներկայացումը խիստ խախտում է, երբ n-ը բավականաչափ մեծ է, քանի որ . Ուստի պարզ թվերը չպետք է վերջավոր լինեն։
Այս բաժնի թեորեմները միաժամանակ ենթադրում են Էվկլիդեսի թեորեմը և այլ արդյունքներ։
Դիրիխլեի թեորեմն ասում է, որ a-ի և d-ի ցանկացած երկու դրական ընդհանուր ամբողջ թվերի համար կան a + nd ձևի անսահման շատ պարզ թվեր, որտեղ n-ը նույնպես դրական ամբողջ թիվ է։ Այլ կերպ ասած, կան անսահման շատ պարզեր, որոնք ձգտում են մոդուլ d-ին։
Թող π(x) լինի պարզ հաշվելու ֆունկցիան, որը տալիս է պարզ թիվը x-ից փոքր կամ հավասար ցանկացած իրական թվի համար։ Այնուհետև պարզ թվերի թեորեմը նշում է, որ x / log x-ը լավ մոտարկում է π(x-ին), այն իմաստով, որ երկու ֆունկցիաների գործակիցի սահմանը π(x) և x / log x ինչպես x ավելանում է առանց 1 սահմանի։
Այս արդյունքը կարող է վերաձևակերպվել որպես
Այն տալիս է Էվկլիդեսի թեորեմը, քանի որ
Թվերի տեսության մեջ Բերտրանի թեորեմը նշում է, որ ցանկացած ամբողջ թվի համար ,միշտ կգտնվի առնվազն մեկ պարզ թիվ, որ
Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմը կարող է նաև արտահայտվել որպես հարաբերություն , որտեղ պարզ հաշվելու ֆունկցիան է ( պարզերի թիվը փոքր կամ հավասար է ):
Այս հայտարարությունը առաջին անգամ արվել է 1845 թվականին Ջոզեֆ Բերտրանի կողմից։ (1822–1900)։ Ինքը՝ Բերտրանը, ստուգեց իր հայտարարությունը [2, 3 × 106].միջակայքում գտնվող բոլոր թվերի համար։ Նրա ենթադրությունն ամբողջությամբ ապացուցվել է Չեբիշևի (1821–1894) կողմից 1852 թ.-ին, ուստի թեորեմը կոչվում է նաև Բերտրան–Չեբիշևի թեորեմ կամ Չեբիշևի թեորեմ։ Այսպիսով, թեորեմըը կոչվում է նաև Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմ կամ Չեբիշևի թեորեմ։
This article uses material from the Wikipedia Հայերեն article Էվկլիդեսի թեորեմ, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Բովանդակությունը թողարկված է CC BY-SA 4.0 թույլատրագրով, եթե այլ բան նշված չէ։ Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Հայերեն (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.