Множаньне: матэматычная апэрацыя

Пазначаецца сымбалем ×, кропкай ·, астэрыскам *. У альгебраічных выразах знак множаньня звычайна апускаецца. Для пазначэньня пасьлядоўнага множаньня многіх элемэнтаў выкарыстоўваецца сымбаль ${\displaystyle \prod }$.

Апэранды множаньня завуцца множнікамі, вынік — здабыткам. Множнікі могуць быць матэматычнымі аб’ектамі як адной прыроды, так і рознай. Здабытак таксама можа быць матэматычных аб’ектам зусім іншага тыпу, адрознага ад тыпу множнікаў.

Апэрацыя множаньня галоўным чынам мае ўласьцівасьць асацыятыўнасьці, але камутатыўнасьць для яе не абавязковая.

Множаньне натуральных лікаў

Апэрацыя множаньня натуральных лікаў азначаецца праз апэрацыю складаньня. Для таго, каб памножыць натуральны лік n на натуральны лік m неабходна вылічыць суму, у якой колькасьць n бярэцца m разоў

${\displaystyle nm=n+n+\ldots +n}$ 

Напрыклад,

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множаньне натуральных лікаў камутатыўнае: ад перастаноўкі множнікаў здабытак не зьмяняецца.

Альгарытм множаньня шматзначных натуральных лікаў

Множаньне шматзначных натуральных лікаў можна зьвесьці да шэрагу множаньняў адназначных лікаў з наступным складаньнем вынікаў. У адрозьненьне ад складаньня, калі складаюцца толькі адпаведныя разрады (адзінкі з адзінкамі, дзясяткі зь дзясяткамі і г.д.), пры множаньні кожны разрад памнажаецца з кожным. Напрыклад,

26 × 75 = (20 + 6) × (70 + 5) = 20 × 70 + 20 × 5 + 6 × 70 + 6 × 5 = 2 × 7 × 100 + 2 × 5 × 10 + 6 × 7 × 10 + 6 × 5 = 780

Для зручнасьці пры ручным множаньні множнікі запісваюць у слупок, адзін пад адным, і множаць іх паводле наступнага альгарытму:

1. Памножыць першы множнік на разрад адзінак другога множніка. Вынік запісаць пад другім множнікам. Для гэтага:
   1. Памножыць разрад адзінак першага множніка на разрад адзінак другога множніка. Малодшы разрад здабытку запісаць у адзінкі (пад адзінкамі другога множніка)
   2. Памножыць разрад адзінак першага множніка на разрад адзінак другога множніка. Дадаць да здабытку старэйшы разрад здабытку папярэдніх разрадаў. Малодшы разрад сумы запісаць у дзясяткі
   3. Працягваць 1.3, пасьлядоўна (справа налева), памнажаючы разрад адзінак другога множніка з кожным разрадам першага множніка і пасьлядоўна атрымліваючы разрады першага здабытку
2. Такім жа чынам памножыць першы множнік на разрад дзясяткаў другога множніка. Вынік запісаць пад вынікам папярэдняга множаньня са зрухам на адзін знак леваруч (гэта значыць, адзінкі запісаць пад дзясяткамі папярэдняга здабытку, дзясяткі пад сотнямі і г.д.)
3. Пасьлядоўна (справа налева) памножыць першы множнік на астатнія разрады другога множніка, зрушаючы пры запісе кожны наступны здабытак на адзін знак леваруч
4. Скласьці ўсе атрыманыя здабыткі, улічваючы пры гэтым зробленыя зрухі.

Напрыклад,

Множаньне цэлых лікаў

Множаньне цэлых лікаў зводзіцца да множаньня натуральных лікаў — абсалютных велічынь гэтых лікаў, а знак здабытку вызначаецца знакамі множнікаў. Здабытак бярэцца са знакам «плюс», калі абодва множнікі станоўчыя або адмоўныя, са знакам «мінус», калі множнікі маюць розныя знакі.

Вынікам множаньня любога ліку на нуль зьяўляецца нуль.

Множаньне рацыянальных лікаў

Для таго, каб памножыць рацыянальны лік ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}$  на рацыянальны лік ${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$  трэба памножыць лічнік і назоўнік дробу. Лічнік зжабытку зьяўляецца здабыткам лічнікащ, назоўнік — здабыткам назоўніку. Па магчымасьці праводзяцца скарачэньні.

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}}}$ 

Множаньне ірацыянальных лікаў

Кожны ірацыянальны лік можна ўявіць як мяжу пэўнай рацыянальнай пасьлядоўнасьці.

Калі ірацыянальны лік ${\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$ , а ${\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}$ , то

${\displaystyle ab=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}}$ 

Множаньне камплексных лікаў

Множаньне камплексных лікаў вызначаецца па формуле

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$ ,

або, у іншай форме запісу,

${\displaystyle (x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$ ,

Вэктар

Для вэктараў існуе некалькі тыпаў множаньня. У прыватнасьці, вэктар можна памножыць на рэчаісны лік. Пры гэтым зьмяняецца яго даўжыня, і, пры множаньні на адмоўны лік, кірунак (на супрацьлеглы).

Існуюць розныя тыпы здабыткаў двух вэктараў: скалярны здабытак і вэктарны здабытак, тэнзарны здабытак.

Матрыцы можна памножыць паміж сабой, калі колькасьць слупкоў ў першай зь іх супадае з колькасьцю радкоў ў другой. Вынікам множаньня зьяўляецца матрыца з колькасьцю радкоў, роўнай колькасьці радкоў у першым множніку, і колькасьцю слупкоў, роўнай колькасьці слупкоў ў другім множніку. Гэта значыць, пры памнажэньнях матрыцы m × n на матрыцу n × k утвараецца матрыца m × k. Элемэнты матрыцы здабытку вызначаюцца па формуле

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\,}$ 

Множаньне матрыц ня мае ўласьцівасьці камутатыўнасьці. У агульным выпадку ${\displaystyle AB\neq BA}$ .

Матрыцу можна памножыць на лік, пры гэтым кожны элемэнт матрыцы памнажаецца на гэта лік.

Здабыткам двух апэратараў завецца іх пасьлядоўнае застасаваньне. Пры дзеяньні апэратара A на аб’ект f утвараецца аб’ект Af. Калі падзейнічаць зараз на яго апэратарам B, то ўтворыцца новы аб’ект, які можна трактаваць як утвораны з зыходнага аб’екту f дзеяньнем апэратара BA.

Множаньне апэратараў у агульным выпадку не камутатыўнае.

• Табліца множаньня
• Формулы скарочанага множаньня