Складаньне: арытмэтычная апэрацыя

Апэрацыя складаньня звычайна пазначаецца знакам + (плюс). У асобных разьдзелах матэматыкі складаньне таксама пазначаецца іншымі спэцыфічнымі для гэтага абсягу сымбалямі (${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \cup }$, ${\displaystyle \sum }$, і г.д.)

Апэранды апэрацыі складаньня завуцца складнікамі, вынік — сумай. Адваротная да складаньня апэрацыя завецца адыманьнем.

Любую бінарную апэрацыя, яка задавальняе наступным умовам у матэматыцы можна назваць складаньнем:

• Камутатыўнасьць
  ${\displaystyle a+b=b+a\,}$ 

Ад перастаноўкі складнікаў сума не зьмяняецца.

• Асацыятыўнасьць
  ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\,}$ 

Складаньне натуральных лікаў

Для таго, каб да натуральнага ліку m дадаць натуральны лік n трэба павялічыць лік m на адзінку n разоў.

Напрыклад,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

Альгарытм складаньня шматзначных натуральных лікаў

Cкладаньне шматзначных лікаў у пазыцыйнай сыстэме лічэньня можна зьвесці да складаньня адназначных лікаў шляхам паразраднага складаньня зь пераносам, гэта значыць складаньня аднолькавых разрадаў складнікаў як асобных лікаў. Вынік складаньня разрадаў будзе значэньнем гэтага ж разраду сумы; калі ж сума разрадаў складае двухзначны лік, то бярэцца малодшы разрад, а старэйшы пераносіцца ў наступны (па нумары) разрад, гэта значыць дадаецца да сумы наступных разрадаў.

Такім чынам, складаньне шматзначных лікаў зьдзяйсьняецца паводле наступнага альгарытму:

1. Скласьці наймалодшыя разрады (адзінкі). Калі вынік складаньня не перавышае 9, гэта складзе наймалодшы разрад сумы. Калі ж вынікам складаньня атрымаўся двухзначны лік, то другая (наймалодшая) лічба вызначае колькасьць адзінак у суме, а першая пераносіцца ў старэйшы разрад (дзясяткі).
2. Скласьці наступныя разрады (дзясяткі); калі быў перанос з папярэдняга разраду, дадаць яго да сумы. Вызначыць другую лічбу сумы, а таксама неабходнасьць пераносу гэтак жа, як і першага разраду (п.1);
3. Паўтараць п.2, рухаючыся ад малодшых разрадаў да старэйшых (справа налева), пакуль ня будуць складзеныя ўсе разрады складнікаў.

Калі разраднасьць складнікаў не супадае, то ў разрадах меншага складніка, якіх не хапае, ставяцца нулі.

Пры ручным складаньні лікі для зручнасьці запісваюць адзін пад адным, так, каб аднолькавыя разрады апынуліся ў адным слупку. Адзінку, якая пераносіцца ў старэйшы разрад, запісваюць над першым складнікам або проста запамінаюць.

Напрыклад,

Такое складаньне завецца складаньнем «у слупок». Гэтак жа можна скласьці тры ці болей лікаў. У такім выпадку пераносіцца ў наступны разрад можа ня толькі 1, а і большы лік. Напрыклад,

Складаньне цэлых лікаў

Складаньне дадатных цэлых лікаў аналягічнае складаньню натуральных лікаў.

Калі сярод складнікаў прысутнічаюць адмоўныя лікі, складаньне можна зьвесьці да складаньня або адыманьня дадатных лікаў. Менавіта,

• каб скласьці два адмоўныя лікі, трэба скласьці іх модулі; вынік узяць са знакам «мінус»
• каб скласьці дадатны лік з адмоўным, трэба ад модуля большага (па модулі) ліку адняць модуль меншага; вынік узяць са знакам ліку, што мае большы модуль.

Напрыклад,

−22 + (−17) = −(22 + 17) = −39
−14 + 40 = 40 −14 = 26
23 + (−27) = −(27 − 23) = −4

Гэтыя правілы вынікаюць з таго, што сума супрацьлеглых лікаў складае нуль:

a + (−a) = 0

Таму

a + b = a + b − 0 = a + b − (b + (−b)) = a −(−b).

Гэта значыць, складаньне можна замяніць адыманьнем, зьмяніўшы знак другога складніка на супрацьлеглы. І наадварот, адыманьне можна замяніць складаньнем, зьмяніўшы на супрацьлеглы знак аднімніка.

Складаньне ліку 0 (нуль) зь любым іншым цэлым лікам не зьмяняе яго. Напрыклад,

5 + 0 = 5

Складаньне рацыянальных лікаў

Для складаньня рацыянальных лікаў перш за ўсё неабходна прывсьці іх да агульнага назоўніка, а потым скласьці зь лічнікам, беручы агульны назоўнік за назоўнік сумы.

Напрыклад,

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}}$ 

Складаньне ірацыянальных лікаў

Кожны ірацыянальны лік зьяўляецца мяжой пэўнай пасьлядоўнасці рацыянальных набліжэньняў. Калі ірацыянальны лік ${\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$ , а ірацыянальны лік ${\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}$ , то

${\displaystyle a+b=\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n}+b_{n})}$ 

Складаньне камплексных лікаў

Пры складаньни камплексных лікаў асобна складаюцца рэчаісная і зданьнёвая часткі

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\,}$ 

або

${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,}$ 

Складаньне вэктараў

Для складаньня вэктараў, азначаных у вэктарнай прасторы з базісам неабходна скласьці іх кампанэнты

${\displaystyle \ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})}$ 

Складаньне матрыц

Можна складаць матрыцы, якія маюць аднолькавую колькасьць радкоў і слупкоў. Сума такіх матрыц мае тую ж самую колькасьць радкоў і слупкоў, а кожны элемэнт матрыцы сумы зьяўляецца сумай элемэнтаў матрыц-складнікаў. Напрыклад,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$ 

Складаньне мностваў

Для мностваў апэрацыя аб'яднання задавальняе патрабаваньням камутатыўнасьці і асацыятыўнасьці, а таму зьяўляецца аналягам cкладаньня.

Складаньне элемэнтаў групаў

Увогуле, групавыя апэрацыі ня маюць ўласцівасьці асацыятыўнасьці. Групы, для якіх групавая апэрацыя камутатыўная, завуцца абэлевымі. Сярод абэлевых групаў вылучаюць адытыўная, у якіх групавую апэрацыю завуць складаньнем. Прыкладам такой групы можа быць група паваротаў гадзіннай стрэлкі.

Складаньне ў матэматычнай лёгіцы

Асноўны артыкул: Булева альгебра

У матэматычнай лёгіцы складаньню адпавядае апэрацыя АБО. Вынік гэтай апэрацыі ІСЬЦІНА калі хаця б адзін з апэрандаў мае значэньне ісьціны.

Апэрацыя складаньня ў булевай альгебры пазначаецца сымбалем ${\displaystyle \lor }$ .

Складаньне (лёгіка) гэта карэктная, простая форма аргумэнтацыі ў лёгіцы:

A.
Такім чынам, A або B.

або ў лёгіка-апэратарнай натацыі:

${\displaystyle A\vdash A\lor B}$ 

Аргумэнт мае адну зыходную здагадку A. З праўдзівасьці A вынікае, што A або B зьяўляецца ісьцінай.

Арытмэтычныя апэрацыі

Складаньне Адыманьне Множаньне Дзяленьне + − × ÷