La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica.
È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente. È spesso indicata dal simbolo "per" a croce ×
, oppure dal punto a mezza altezza matematico ⋅
, o in ambito informatico dall'asterisco *
.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono cinque per due:
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il per, come nella prima (due zeta), altrimenti verrà detto, come nella seconda (due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi o due per, tra parentesi, zeta più due) o infine due che moltiplica zeta più due.
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN[senza fonte].
Dati due numeri interi positivi e , detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero per volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui b' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x :
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di . Lo schema che ne deriva è detto regola dei segni:
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
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