ஆரம், வடிவியல்

ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும்.

மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர்.

ஆரை பொதுவாக r என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது விட்டத்தின் (d) அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

வட்டம் ஒன்றின் சுற்றளவு C எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்:

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}.}$ 

வட்டம் ஒன்றின் பரப்பளவு A எனின், அதன் ஆரை:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$ .

P₁, P₂, P₃ எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்:

${\displaystyle r={\frac {|P_{1}-P_{3}|}{2\sin \theta }}}$ 

இங்கு θ என்பது கோணம் ${\displaystyle \angle P_{1}P_{2}P_{3}.}$  ஆகும்.

இச்சமன்பாடு சைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ , ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ , ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$  ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{3}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{3}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{3}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{3}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)}}{2\left|{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{2}}}+{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{3}}}+{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{3}}}-{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{2}}}\right|}}}$ 

பின்வரும் சமன்பாடுகள் n பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பல்கோணங்களுக்கானது.

s பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை:

${\displaystyle r=R_{n}\,s}$     இங்கு   ${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\quad \quad {\begin{array}{r|ccr|c}n&R_{n}&&n&R_{n}\\\hline 2&0.50000000&&10&1.6180340-\\3&0.5773503-&&11&1.7747328-\\4&0.7071068-&&12&1.9318517-\\5&0.8506508+&&13&2.0892907+\\6&1.00000000&&14&2.2469796+\\7&1.1523824+&&15&2.4048672-\\8&1.3065630-&&16&2.5629154+\\9&1.4619022+&&17&2.7210956-\end{array}}}$