Espiral De Arquímedes

C. Defínese como o lugar xeométrico dun punto que se move a velocidade constante sobre unha recta que xira sobre un punto de orixe fixa a velocidade angular constante. De maneira equivalente, en coordenadas polares (r, θ) a espiral de Arquímedes pode ser descrita pola seguinte ecuación:

${\displaystyle \,r=a+b\theta }$

sendo a e b números reais. Cando o parámetro a cambia, a espiral desprázase no eixo X, mentres que b controla a distancia entre xiros sucesivos.

Arquímedes describiu esta espiral no seu libro Das Espirais.

 

A espiral de Arquimedes pódese trazar dentro dunha circunferencia e conforme vai crecendo vaise afastando un arco doutro.

A subnormal polar dunha espiral de Arquímedes é constante.

Esta curva distínguese da espiral logarítmica polo feito de que, voltas sucesivas da mesma teñen distancias de separación constantes (iguais a 2πb se θ é medido en radiáns), mentres que nunha espiral logarítmica a separación está dada por unha progresión xeométrica. (As distancias referidas son medidas sobre unha recta que pasa polo centro da espiral)

Hai que notar que a espiral de Arquímedes ten dous brazos, un para θ > 0 e outro para θ < 0. Os dous brazos están discretamente conectados na orixe e só se mostra un deles na gráfica. Tomando a imaxe reflectida no eixo Y producirase o outro brazo.

Ás veces, o termo é usado para un grupo máis xeral de espirais:

${\displaystyle r=a+b\theta ^{1\!/\!x}.}$ 

A espiral normal dáse cando x = 1. Outras espirais que caen dentro do grupo inclúen a espiral hiperbólica, a espiral de Fermat, e o Lituus. Virtualmente todas as espirais estáticas que aparecen na natureza son espirais logarítmicas, non de Arquímedes. Moitas espirais dinámicas (como a espiral de Parker do vento solar, ou o patrón producido por unha roda de Catarina) son do grupo de Arquímedes.

 

 

A espiral de Arquímedes ten unha plétora de aplicacións. Por exemplo, empréganse en bombas de compresión ou compresores rotativos (scroll pumps), feitos de dúas espirais de Arquímedes do mesmo tamaño intercaladas, para comprimir líquidos e gases. Este é un mecanismo corrente en máquinas de aire acondicionado con baixas emisións de ruído.

Os sucos das primeiras gravacións para gramófonos (Disco de vinilo) forman unha espiral de Arquímedes, facendo os sucos igualmente espazados e maximizando o tempo de gravación que podería acomodarse dentro da gravación (aínda que isto foi cambiado posteriormente para incrementar a calidade do son).

Pedirlle a un paciente que debuxe unha espiral de Arquímedes é unha maneira de cuantificar o tremor humano; esta información axuda no diagnóstico de enfermidades neurolóxicas. Estas espirais son tamén usadas en sistemas DLP de proxección para minimizar o efecto de arco da vella, que simula un despregamento de varias cores ao mesmo tempo, cando en realidade se proxectan ciclos de vermello, verde e azul rapidamente.

Un método para a cuadratura do círculo, relaxando as limitacións estritas no uso dunha regra e un compás nas probas xeométricas da Grecia antiga, fai uso da espiral de Arquímedes. Tamén existe un método para trisecar ángulos baseado no uso desta espiral. Como a lonxitude da subtanxente ${\displaystyle \,St=r\theta }$  se pode utilizar para rectificar a circunferencia.

Outros artigos

• Espiral logarítmica
• Coordenadas polares
• Espiral de Fermat
• Espiral hiperbólica
• Arquímedes
• Evolvente

Ligazóns externas

• Mac Titor History of Mathematics Arquive, Spiral of Archimedes Arquivado 24 de outubro de 2019 en Wayback Machine..
• FooPlot (ferramenta que pode mostrar gráficas de funcións en coordenadas polares).