Triangelu Angeluzuzen

Triangelu angeluzuzen bateko aldeen eta angeluen arteko erlazioa trigonometriaren oinarri da.

Triangelu angeluzuzena
Mota	Triangelua
Aldeak	3

Triangelu bat angeluzuzena izateko, bere aldeen luzerek Pitagorasen teorema bete behar dute:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ triangeluaren katetoak eta ${\displaystyle c}$ hipotenusa diren.

 

Hirukiaren alde luzeenari hipotenusa deitzen zaio, hau da, angeluzuzenaren kontrako aldean dagoenari. Beste alde txikiagoei kateto deitzen zaie, hauek angeluzuzena eratzen dute eta goiko irudian angeluzuzenarekiko bertikalean eta horizontalean daudenak (a eta b) izango lirateke. Kateto bakoitzak angelu zorrotz bat eratzen du. Hiru aldeen neurriak zenbaki osoak badira, hiruko pitagorikoa eratuko dute.

Katetoen neurriak berdinak badira, hiruki angeluzuzen isoszele baten aurrean gaude (45-90-45 graduko angeluak). Hortaz:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\text{katetoa}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 

Bada hiruki eskaleno oso ezagun bat zeinaren kateto txikienak hipotenusaren luzeraren erdia neurtzen duen. Hiruki horretan, aipatutako bi aldeek 30º-ko angelu zorrotz bat eratzen dute eta beste angelu zorrotza 60º-koa da, hala, ondorengo angeluak ditu: 30-90-60. Hiruki hori aldeberdina da altuerari dagokionean, horrek egiten du berezi. Hiruki aldeberdinaren aldea ${\displaystyle 2a}$  dela eta altuera baten bidez bi hiruki angeluzuzen lortzen direla onartzen badugu (beraz, hiruki bakoitzaren hipotenusa ${\displaystyle 2a}$  da; 30º-ko angeluarekiko aurkako katetoa ${\displaystyle a}$  da, eta 60º-ko angeluarekiko aurkako katetoa ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$  da), sinuen ondorengo balioak eskuratuko ditugu, hurrenez hurren:

1. ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {\text{kateto txikia}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {a}{2a}}={\frac {1}{2}}}$ 
2. ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\text{kateto handia}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2a}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ 

Hiruki angeluzuzen orok hurrena betetzen du:

• Bi angelu zorrotz ditu.
• Hipotenusa beti katetoak baino luzeagoa izango da.
• Hipotenusaren luzeraren berbidura katetoen berbiduraren baturarekiko baliokidea da, hau da: ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ 
• Hipotenusaren luzeraren eta triangeluaren puntak biltzen dituen zirkuluaren diametroaren batura katetoen luzeraren baturarekiko baliokidea da.
• Azaleraren kalkulurako, edozein kateto oinarritzat har daiteke eta bestea garaieratzat hartu behar da.
• Hipotenusaren medianak triangelu angeluzuzen eskalenoa bi triangelutan banatzen du: bata angelukamutsa eta bestea angeluzorrotza, kongruenteak ez baina baliokideak direnak.
• Triangelu angeluzuzen isoszele baten hipotenusaren medianak kongruenteak eta baliokideak diren bi triangelu angeluzuzen isoszeletan banatzen du triangelua.
• Hipotenusa partekatzen duten eta angelu zuzenak aurkako planoerdietan (hipotenusaren lerroak zehazten dituenak) dituzten bi triangelu angeluzuzenek lauki angeluzuzen-bikoitz bat eratzen dute.
• Angelu zorrotzetik ateratzen den mediana hipotenusaren erdiarekiko baliokidea da.
• Angelu zorrotzaren erpinetik ateratzen den garaiera katetoarekin bat dator, baldin eta beste katetoa oinarritzat hartzen bada.

Bi motako triangelu angeluzuzenak daude:

• Triangelu angeluzuzen isoszelea: bi katetoak luzera berdinekoak dira, barne-angeluak 45-45-90 gradukoak direlarik. Triangelu mota honetan, hipotenusak katetoaren luzeraren halako erro bi neurtzen du.
• Triangelu angeluzuzen eskalenoa: hiru alde eta hiru angeluek neurri ezberdinak dituzte. Kasu berezitzat jo genezake barne angeluak 30-60-90 gradukoak dituen hiruki hura, non hipotenusak kateto txikienaren luzeraren erdia neurtzen duen eta kateto handiak txikiaren luzeraren halako erro hiru neurtzen duen.

• Ondoz ondoko aldedun hiruki angeluzuzena: bere aldeen neurriak 3,4 eta 5 unitatekoak dira. Erraz aurki dezakegu Ekialde Hurbileko kulturetan, besteak beste, Babilonia eta Egipton. Ikur historiko, erabilgarri eta hezigarri bat dugu hau, geo-oinarri batera egokitu daiteke, gainera. Hiruki berdina baina ondoz ondoko alderik gabekoa bada, aldeek 5, 12 eta 13 unitate neurtuko dituzte, baina hiruki hau ez da aurrekoa bezain ezaguna.

 

Triangelu angeluzuzen batean, 'A-n erpina eta ${\displaystyle \alpha }$  neurria duen angeluaren arrazoi trigonometrikoak honakoak dira:

Sinua: aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia,

${\displaystyle {\text{sin}}(\alpha )={\frac {a}{c}}}$ ; haren alderantzizko biderkatzaileak kosekante izena jasotzen du, baldin badu.

Kosinua: aldeko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia:

${\displaystyle cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}$ ; haren alderantzizko biderkatzaileak sekante izena jasotzen du, baldin badu.

Tangentea: aurkako eta aldeko katetoen arteko arrazoia.

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$ ; arrazoi honen alderantzizkoa, baldin bada, kotangente izenez ezagutaraziko da.

 

Gogora dezagun hiruki ororen azalera kalkulatzeko ahalmena ematen digun adierazpen matematikoa zein den:

${\displaystyle A={\frac {o\cdot h}{2}}}$  ; Non ${\displaystyle A}$  azalera den, ${\displaystyle o}$  oinarria eta ${\displaystyle h}$  altuera.

Triangelu angeluzuzenei dagokienean, ondorengoa ondorioztatu dezakegu aurreko adierazpena abiapuntutzat hartuta: Hiruki angeluzuzen baten azalera diagonalak erdibitzen duen laukizuzenaren azaleraren erdiarekiko baliokidea da, lehen irudian ikus daitekeen moduan. Hiruki angeluzuzena isoszelea bada, karratu bat ere har genezake azaleratzat.

${\displaystyle A={\frac {b\cdot a}{2}}}$ 

Non a eta b aldeekin bat datozen katetoen neurrien adierazle diren eta laukizuzenaren altuerarekin bat datozen, lehen irudian ikusten den bezala. Hiruki batean, kateto batek bestearen altuera adierazten du beti. Beraz, a = 1katetoa eta b = 2katetoa direla onartuz, aurreko adierazpen matematikoarekiko baliokidea den bigarren ekuazio bat idatz dezakegu, ondorengo moduan:

${\displaystyle A={\frac {1katetoa\cdot 2katetoa}{2}}}$ 

Aurreko frogapena kasu berezi bat baino ez da, soilik triangelu angeluzuzenekin balizkoa dena eta adierazpen askoz orokorrago batetik eratorritakoa. Adierazpen orokorrago horrek triangelu ororen azalera kalkulatzeko gaitasuna ematen digu eta hori, Euklidesen I.41 proposizioa da, paralelogramo deritzon kontzeptu orokorrago batean oinarritzen da proposizio hori, eta beraz, bere balizkotasuna laukizuzen eta triangelu angeluzuzenetatik at hedatzen da.

Azalera maximoa

Zirkunferentziaerdi batean irudika daiteken azalera handieneko triangelu angeluzuzena triangelu angeluzuzen isoszelea da. Aurrez esan bezala, hiruki honek kateto berdinak ditu, ${\displaystyle R{\sqrt {2}}}$  luzerakoak, non R irudikatutako zirkunfentziaerdiaren erradioa den, hipotenusa R-ren bikoitzarekin bat dator.

Froga

Zirkunferentziaerdiaren gainean lan eginez gero eta azaleraren funtzioa baliatuz, ${\displaystyle A(x)={\frac {(2R)(h)}{2}}}$ ; non hartutako oinarria hipotenusa den eta garaiera berarekiko zuta den. Orduan A(x) maximoa izango da h maximoa denean, 2R konstantea delako.

• Triangelu zuzenak
• Triangelu zuzenak ebazteko ariketa.

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Right Triangle" MathWorld-en.