Efiko De Doppler: ŝanĝo de frekvenco de ondo por observanto moviĝanta rilate al la ondofonto

La efiko Doppler povas rezulti el moviĝado de la observanto, aŭ de la observata ondofonto, aŭ ambaŭ. Ĉe ondoj bezonantaj perilon (ekzemple, sonaj ondoj) por transmoviĝi, oni devas analizi la moviĝojn (de la observanto resp. de la fonto) aparte; ĉe ondoj ne bezonantaj perilon (ekz-e lumaj aŭ la gravito en speciala relativeco, nur la relativan diferencon en rapido oni devas konsideri.

Doppler unue proponis la efikon, pri lum-ondoj, en la monografiaĵo (1842) Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels (Pri la kolora lumo de la binaraj steloj kaj aliaj astroj). Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot en 1845 testis la proponon ĉe son-ondoj, konfirmante ke la tonalto de sono estas observata kiel pli alta dum la fonto alproksimiĝas, ol dum ĝi formoviĝas. Hippolyte Fizeau sendepende malkovris la saman fenomenon ĉe elektromagnetaj ondoj en 1848, pro kio oni kelkfoje nomas ĝin (precipe en Francio) la "efiko Doppler-Fizeau").

Ni havas du objektojn. Unue estas fonto, due estas observanto. Ni supozas ke la fonto elsendas mallongajn signalojn po frekvenco ${\displaystyle f_{0}}$  (ondlongo ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ) kaj ĝi veturas per rapido ${\displaystyle v_{e}}$ . Ni supozas ke la observanto veturas per rapido ${\displaystyle v_{r}}$ . Ni konsideras ke la relativa movo inter fonto kaj observanto estas laŭ rekta linio kuniganta unu la alian, kaj ke la rapidoj estas pozitivaj sur tiu akso por direktoj de la observanto al la ondfonto. Do la relativa rapido ${\displaystyle v_{rr}}$  estas:

${\displaystyle v_{rr}=v_{e}-v_{r}\;.}$ 

La ondo propagiĝas en la medio kun rapido ${\displaystyle v_{0}}$ . En tempo de unu periodo ${\displaystyle T_{0}}$ , kiam la dua signalo estas elsendita, la unua estas for de distanco:

${\displaystyle s_{0}=v_{0}T_{0}\;.}$ 

Dum tiu tempo ${\displaystyle T_{0}}$  la fonto moviĝis, la efektiva distanco inter du elsenditaj signaloj estas:

${\displaystyle s_{1}=(v_{0}+v_{e})T_{0}\;.}$ 

Por la observanto, la tempo inter la du signaloj estas ${\displaystyle T}$  . Dum tiu tempo la observanto formoviĝis sur la distanco ${\displaystyle v_{r}T}$  , la dua signalo fakte irvojis la distancon:

${\displaystyle s_{2}=s_{1}-v_{r}T=v_{0}T\;,}$ 

konsekvence:

${\displaystyle T={\frac {(v_{0}+v_{e})}{(v_{0}+v_{r})}}.T_{0}\;,}$ 

do la frekvenco ${\displaystyle f\,}$  kiun observas observanto estas:

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {(v_{0}+v_{r})}{(v_{0}+v_{e})}}.f_{0}\;.}$ 

Kiam la rapidecaj vektoroj ne estas laŭ la akso observanto-fonto, oni devas konsideri la projekciojn de vektoroj sur tiu akso, do multobligi iliajn valorojn per la kosinuso de iliaj respectivaj anguloj rilate la akson. Pri elektromagnetaj ondoj nur la relativan diferencon de rapidoj oni devas konsideri:

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}.f_{0}\,}$ 

kie:

${\displaystyle \beta ={\frac {v_{rr}}{c}}\;.}$ 

Difinoj:

• s₀ - vojo de ondo dum ${\displaystyle T_{0}}$ ,
• s₁ - distanco inter du elsenditaj sekvantaj signaloj,
• s₂ - vojo de ondo dum ${\displaystyle T}$ ,
• T - ŝajna ondperiodo al observanto,
• T₀ - ondperiodo de fonta ondo,
• λ=v₀ / f - ŝajna ondlongo de ondo al observanto,
• λ₀=v₀ / f₀ - ondlongo de fonta ondo,
• f - ŝajna ondfrekvenco al observanto,
• f₀ - frekvenco de fonta ondo,
• v₀ - rapido de ondpropago,
• v_e - rapido de fonto,
• v_r - rapido de observanto,
• v_rr - relativa rapido inter fonto kaj observanto,
• c - rapido de la lumo.

Estas grave kompreni, ke la frekvenco de la sonoj "elmetataj" de la fonto ne efektive ŝanĝiĝas.

Se nur la fonto moviĝas (${\displaystyle v_{r}=0\;}$ ), tiel la formulo de la observata frekvenco simpliĝas:

${\displaystyle f={\frac {v_{0}}{v_{0}+v_{e}}}.f_{0}\,,}$ 

tio estas:

${\displaystyle f=\left({\frac {1}{1+v_{e}/v_{0}}}\right).f_{0}\,.}$ 

Se nur la observanto moviĝas (${\displaystyle v_{e}=0\;}$ ), tiel la formulo de la observata frekvenco simpliĝas:

${\displaystyle f={\frac {v_{0}+v_{r}}{v_{0}}}.f_{0}\,,}$ 

tio estas:

${\displaystyle f=\left(1+{\frac {v_{r}}{v_{0}}}\right).f_{0}\,.}$ 

Estas malsimetrio en la ŝanĝo de frekvenco depende se estas la fonto aŭ la observanto kiu moviĝas. La kialo de la malsimetrio estas la vibrado de la medio kiu propagas la ondon (ekzemple aero pri sonaj ondoj). Fakte se la observanto forirus de la fonto pli rapide ol la rapido de la ondo, li neniam signalon ricevus; kontraŭe se la fonto kiu kun iu ajn rapido forirus de la observanto, tiu ĉi ĉiam signalon ricevus.

Pri elektromagnetaj ondoj estas simetrio, nur la relativa rapido aperas en la formulo.

 

En Ĉiutaga Vivo

Kiam la rapido de la ondo estas multe pli alta ol tiu de la movantoj, la formulo alproksimiĝas tiel:

${\displaystyle f\simeq \left[1-{\frac {(v_{e}-v_{r})}{v_{0}}}\right].f_{0}\,,}$ 

tio estas:

${\displaystyle f\simeq \left(1-{\frac {v_{rr}}{v_{0}}}\right).f_{0}\,.}$ 

Tiu formulo tradukas ke kiam la observanto kaj la fonto proksmiĝas (resp. malproksimiĝas) la frekvenco altiĝas (resp. malaltiĝas). Kiam la fonto kaj la observanto moviĝas (aŭ ne moviĝas) kun sama rapido al sama direkto:

${\displaystyle v_{rr}=0\,,}$ 

la observata frekvenco estas tiu de la fonto:

${\displaystyle f=f_{0}\,.}$ 

Pri elektromagnetaj ondoj la relativeca formulo alproksimiĝas tiel:

${\displaystyle f\simeq (1-\beta ).f_{0}\,,}$ 

do tute simile al la formulo de aliaj ondoj:

${\displaystyle f\simeq \left(1-{\frac {v_{rr}}{c}}\right).f_{0}\,.}$ 

Astronomio

 

La Doppler-a efiko pri elektromagnetaj ondoj (ekz. lumo) tre utilas en astronomio. Ĝi instruas pri la movoj de steloj kaj galaksioj kaj pri la movoj de astroj interne de galaksioj, rezultante al la tiel nomataj ruĝenŝoviĝo aŭ bluenŝoviĝo]]. Ĝi permesas mezuri tiel bone la radiajn rapidojn de steloj kaj de galaksioj, eĉ iliajn rotaciajn rapidojn. Dank´al Doplera efiko, ŝajnaj unuaj steloj riveliĝas esti duopaj steloj kiuj rivoluas unu ĉirkaŭ alia. La maso kaj la diametro de la nigra truo en la centro de nia galaksio estis taksitaj en la jaro 2008 post observado dum 16 jaroj de apudaj steloj kies movoj, rapidoj, malaperaj kaj reaperaj periodoj de orbitoj estis analizitaj.

La utilo de la Doppler-a efiko originas de la nekontinua spektro de la lumo de ĉielaj objektoj. Iliaj spektroj konsistas el frekvenclinioj, kiuj rilatas al precizaj bezonataj energioj por eksciti elektronojn de unu energinivelo al alia en variaj ĥemiaj elementoj de astroj. Dum studo de astro-spektro, per la Doplera efiko oni observas la ŝanĝojn de frekvencoj de la linioj de la lumspektro kompare kun tiu de stabila lumfonto. Ĉar la frekvenco de la blua lumo estas pli alta ol tiu de la ruĝa lumo, la spektraj linioj de astronomika lumfonto ŝoviĝas al ruĝa flanko de la spektro (ruĝenŝoviĝo) kiam ĝi foriras, kaj ŝoviĝas al blua flanko de la spektro (bluenŝoviĝo) kiam ĝi alproksimiĝas.

Mezurante Temperaturon

La Doppler-a efiko klarigas kial la spektraj linioj de gaso enlarĝiĝas iliajn ondlongojn kompare kun aliaj naturaj larĝoj. Fakte pro la varmagitado, duono el atomoj elsendantaj lumojn proksimiĝas al la observantulo kun mallonĝiĝo de ondlongoj, dum la alia duono foriras de li kun lonĝiĝo de ondlongoj. La rezultanta karakteriza larĝo de spektro-linio ${\displaystyle \Delta \lambda _{D}}$  nomiĝas "Doppler larĝiĝo" kaj kalkuleblas laŭ la formulo:

${\displaystyle \Delta \lambda _{D}=(\lambda _{0}/c){\sqrt {2kT/m}}}$ 

kie ${\displaystyle c}$  estas la lumrapideco, ${\displaystyle k}$  la konstanto de Boltzmann kaj ${\displaystyle m}$  la maso de la konsiderataj atomoj, la larĝo de linio do taksas la temperaturon de la elsendanta gaso. Tamen la varmigado ne estas la unika kaŭzo de enlarĝiĝo: kirlantaj movoj ĉeestas en ĉiuj astrofizikaj medioj kaj partoprenas al la larĝiĝo de spektro-linioj.

Radaro

La Doppler-a efiko estas ankaŭ uzita en ia radaro por mezuri rapidojn de objektoj. Elektromagneta radio (plejofte en la klaso de gigahercoj) de radaro estas sendita al movanto -ekzemple veturilo, ofte celata de polico por detekti rapidojn de stiristoj-, kiam ĝi malproksimiĝas de radarfonto. Ĉiu sekvanta ondo irvojas pli por atingi la veturilon antaŭ ol esti reflektita kaj redetektita ĉe la fonto. Ĉar ĉiu ondo movas laŭ pli longa distanco, la tempo inter sekvantaj ondoj kreskas, do ankaŭ la ondlongo. Alifoje radio estas sendata al proksimiĝanta veturilo; tiukaze la tempo inter sekvantaj ondoj malkreskas, ankaŭ la ondlongo. Ĉiufoje, bone aplikitaj formuloj de la Dopplera efiko permesas koni precize la rapidojn de veturiloj.

Malvarmigo de atomoj per lasero

La malvarmigo de atomoj per lasero aŭ Doppler-a malvarmigo estas tekniko kiu permesas malvarmigi gason ĝis temperaturo pli malgranda ol unu mK per laseroradioj. La temperaturo estas ligita al la moviĝo de atomoj: ju pli la skuiĝo estas malgranda des pli la temperaturo estas malalta. La malrapidigo de atomoj produktas malvarmegajn atomojn. Ĝi krome permesas konstrui precizegajn atomajn horloĝojn kaj ebligas fizikajn eksperimentojn pri gasoj de bosonoj kaj gasoj de fermionoj.

Kiel funkcias?

Imagu atomon kies du niveloj de energio de du tavoloj de ĝiaj elektronoj estas ${\displaystyle E_{a}}$  kaj ${\displaystyle E_{b}}$ ; la frekvenco de fotono kiu permesas transiron de unu nivelo al la alia estas ${\displaystyle f_{ab}={\frac {E_{b}-E_{a}}{h}}}$  (${\displaystyle h=}$  konstanto de Planck). Kiam atomo sorbas fotonon kies movokvanto estas ${\displaystyle {\frac {h.f_{ab}}{c}}}$  (${\displaystyle c=}$  rapido de lumo) ĝi retroiras laŭ la fotonodirekto, kaj pro la konservo de movokvantoj ĝia vario de rapido sekvas tiun formulon ${\displaystyle m\Delta v={\frac {h.f_{ab}}{c}}}$ . Tuj poste la atomo elpelas fotonon de sama energio kaj ankoraŭ retroiras sed al iu ajn direkto.

Konsideru atomon submetitan al laseroradio kun frekvenco ${\displaystyle f_{l}}$  iomete malsama ol ${\displaystyle f_{ab}}$ ; la atomo moviĝas kun rapido ${\displaystyle {\vec {v}}}$  (neglektinda rilate al la lumrapido), laŭ la Doppler-a efiko la radiofrekvenco ŝajnas al ĝi ${\displaystyle f=f_{l}+\alpha {\vec {k}}.{\vec {v}}}$ : pli alta kiam ĝi proksimiĝas al la lasero (${\displaystyle \alpha >0)}$ ), malpli alta kiam ĝi malproksimiĝas (${\displaystyle \alpha <0)}$ ).

Nun konsideru du laserojn vidalvide, kiuj elsendas kontraŭdirektajn radiojn de sama frekvenco ${\displaystyle f_{l}}$  (iomete pli malgranda ol la resonanca frekvenco ${\displaystyle f_{ab}}$ ), kaj atomon inter ili. Kiam la atomo estas senmova (simetria situacio) neniu forto efikas (gravito estas neglektata). Sed kiam la atomo moviĝas dekstren, la dekstra lasero ŝajnas havi frekvencon ${\displaystyle f=f_{l}+\alpha .v}$ , do pli proksima al la resonanca frekvenco ${\displaystyle f_{ab}}$ . Kontraŭe la maldekstra lasero ŝajnas havi frekvencon ${\displaystyle f=f_{l}-\alpha .v}$ , pli malproksima de la resonanca frekvenco. La atomo sorbos multe pli fotonojn de la dekstra flanko ol de la maldekstra, ĝi estos repuŝata maldekstren kaj malakcelata.

Sufiĉas poste uzi ses laserojn (agorditajn po du kiel supre priskribite) laŭ la tri direktoj de spaco por krei amason de malvarmigitaj atomoj.

Medicina imagado kaj Mezurado de Sangofluo

"Eĥokardiogramo" (ne konfuzu kun elektrokardiogramo) permesas inter limoj koni la direkton de sangfluo, la rapidon de sango kaj la movon de kora teksaĵo pri iu ajn punkto de la koro dank´al la efiko de Doppler. Unu el limaĵoj estas ke la ultrasona radio devus esti kiel eble plej paralele al la sangfluo. Mezurado de rapidoj permesas taksi koro-funkciadon aparte la areojn de koro-valvoj, tial identigi malnormalan komunikon inter la dekstra kaj la maldekstra parto de la koro, ankaŭ likaĵon de sango tra la valvoj. La malgrandiĝoj de diametroj de vejnoj kaj arterioj povas esti diagnozitaj.

La principo de "ampleksita kontrasto-ultrasono" uzas gasajn mikroglobetojn kiuj efike reflektas la elsenditajn radiojn, tiel ke la mezurado de rapidoj kaj diversaj medicinaj fluoj pliboniĝas.

Malgraŭ ke "Doppler" iĝis sinonimo de "rapido-mezurado" en la medio de medicina imagado, la plej ofte ne estas frekvenco-ŝoviĝo (Dopplera ŝoviĝo) de ricevata signalo kiu estas mezurata, sed la fazo-ŝoviĝo ("kiam" la ricevata signalo alvenas).

Rapido-mezurado de sangofluo estas ankaŭ uzata pri aliaj kampoj ol medicina ultrasonografio, ekzemple pri obstetriko kaj neŭrologio.

Fluo-mezurado

Instrumentoj -ekz. Lasera Doppler-Rapidometro(LRD) kaj Akustika Doppler-Rapidometro (ADR)- disvolviĝas por mezuri rapidojn en fluaĵoj. Pri LDR kaj ADR, radio de lumo aŭ de sono estas elsendita, la Doplera ŝoviĝo de ondlongoj estas mezurita post reflektoj de radio sur partikloj movantaj en la fluaĵo. Tiu teĥniko permesas sen-enmiksan mezuradon kun altaj precizeco kaj frekvencoj.

• Ruĝenŝoviĝo
• Hippolyte Fizeau

• Relativeca Doplera efiko ĉe unuforme akcelata movo: Parto I^{[rompita ligilo]} kaj Parto II^{[rompita ligilo]}, verkita far Filipo M. Paiva kaj A. F. F. Teixeira. 8 kaj 9 paĝoj respektive, formo PDF.
• Universitato de Ilinojso ĉe Urbana–Champaign: http://archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/Bima/doppler.html Arkivigite je 2009-05-12 per la retarkivo Wayback Machine (angle)
• https://web.archive.org/web/20071119085900/http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/doppler/doppler.html La doplera efiko kaj la sonkrako dum la transiro de la sonmuro (angle)