Συμπύκνωμα Μπόζε-Αϊνστάιν

Σε τέτοιες συνθήκες υψηλής ψύξης, ένα σημαντικό ποσοστό των ατόμων (μποζονίων) βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση του εξωτερικού δυναμικού, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται κβαντικά φαινόμενα στο μακροσκοπικό αυτό επίπεδο.

Η πρόβλεψη για τη δημιουργία του συμπυκνώματος έγινε πρώτη φορά από τον Σατέντραναθ Μπόους το 1925. Χρειάστηκαν 70 χρόνια για να πραγματοποιηθεί η συμπύκνωση ΒΕC, το 1995, από τους Έρικ Κορνέλ και Καρλ Βίμαν στο Εργαστήριο NIST του Πανεπιστημίου Μπόλντερ στο Κολοράντο, ψύχοντας άτομα Ρουβιδίου στους 170° nanoKelvin. Μοιράστηκαν το βραβείο Νόμπελ 2001 μαζί με τον Βόλφγκανγκ Κέτερλε (Wolfgang Ketterle) του MIT για την ανακάλυψή τους.

Τα συμπυκνώματα είναι ρευστά σε εξαιρετικά χαμηλές θερμοκρασίες, που παρουσιάζουν ιδιότητες οι οποίες δεν είναι ακόμα πλήρως κατανοητές, όπως η υπερρευστότητα και η υπεραγωγιμότητα. Τα φαινόμενα αυτά είναι κβαντικής φύσης και οφείλονται στο ότι τα ρευστά αυτά βρίσκονται στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, από την οποία δε μπορούν να μεταβούν σε κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας. Τέτοιο φαινόμενο είναι και η ΒΕC.

Η στατιστική κατανομή των μποζονίων που βρίσκονται στην θεμελιώδη τους κατάσταση, περιγράφεται από την στατιστική Bose-Einstein. Κάτω από μια κρίσιμη θερμοκρασία, σημαντικός αριθμός μποζονίων θα βρεθούν στη θεμελιώδη τους κατάσταση. Η θερμοκρασία αυτή, για αδρανές αέριο στις 3 διαστάσεις χωρίς εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας, είναι:

${\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}}$ 

όπου:

${\displaystyle \,T_{c}}$		κρίσιμη θερμοκρασία,
${\displaystyle \,n}$		πυκνότητα σωματιδίων,
${\displaystyle \,m}$		μάζα κάθε μποζονίου,
${\displaystyle \,h}$		Σταθερά του Πλανκ,
${\displaystyle \,k_{B}}$		Σταθερά του Μπόλτσμαν
${\displaystyle \,\zeta }$		η συνάρτηση Ζ του Ρίμαν: ${\displaystyle \,\zeta (3/2)\approx 2.6124.}$

Η υπόθεση του Αϊνστάιν

Έστω ένας αριθμός Ν σωματιδίων που δεν αντιδρούν μεταξύ τους και βρίσκονται σε μία από τις 2 διαθέσιμες κβαντικές καταστάσεις ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$  και ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$ . Αν οι δυο αυτές καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια, τότε έχουν την ίδια πιθανότητα.

Ο αριθμός των διαφορετικών καταστάσεων του συστήματος είναι ${\displaystyle \scriptstyle 2^{N}}$ . Σχεδόν τα μισά σωματίδια στον πληθυσμό επομένως είναι στην κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$  και τα υπόλοιπα στην ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$ . Αν όμως τα σωματίδια είναι μη-διακρίσιμα (όπως είναι τα μποζόνια), υπάρχουν μόνο N+1 διαφορετικές καταστάσεις του συστήματος, Κ σωματίδια στην κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$  και Ν-Κ στην κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$ .

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$  έχει μεγαλύτερη ενέργεια από την ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$  κατά Ε. Στη θερμοκρασία Τ ένα σωματίδιο θα έχει μικρότερη πιθανότητα να είναι στην κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$  κατά ${\displaystyle \scriptstyle \exp(-E/T)}$ . Στην περίπτωση που είναι διακριτά τα σωματίδια, η κατανομή τους θα τείνει ελαφρά προς την κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$  δεν θα είναι πλέον μοιρασμένα ίσα τα σωματίδια στις δύο καταστάσεις. Στην περίπτωση μη-διακριτών σωματιδίων, δεν υπάρχει απαίτηση για ισοκατανομή, οπότε το πιο πιθανό είναι όλα τα σωματίδια να πέσουν στην ενεργειακή κατάσταση ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$ .

Σε αυτή την περίπτωση, για κάθε Κ υπάρχει μία κατάσταση που έχει τη δική της πιθανότητα:

${\displaystyle \,P(K)=Ce^{-KE/T}=Cp^{K}}$ 

Για μεγάλα Ν, η σταθερά κανονικοποίησης C = (1-p).

Η αναμενόμενη τιμή συνολικού αριθμού σωματιδίων στην θεμελιώδη κατάσταση είναι το όριο ${\displaystyle \scriptstyle N\rightarrow \infty }$  είναι ίσο με ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n>0}Cnp^{n}=p/1-p}$ . Για μεγάλο Ν, πλησιάζει μια σταθερά. Αυτή θα είναι ένα μικρό ποσοστό του συνολικού αριθμού σωματιδίων. Επομένως, όσο μικρή και αν είναι η ενεργειακή διαφορά, πάντα μια συλλογή αρκετών μποζονίων σε θερμική ισορροπία θα καταλαμβάνουν τη θεμελιώδη στάθμη και πολύ λίγα θα βρίσκονται σε διεγερμένες στάθμες.

Στην περίπτωση που έχουμε νέφος σωματιδίων με διαφορετικές ορμές ${\displaystyle \scriptstyle |k\rangle }$ , αν ο αριθμός των σωματιδίων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των διαθέσιμων ενεργειακά καταστάσεων, ο αριθμός αυτός των καταστάσεων μειώνεται, όσο αυξάνεται ο αριθμός των σωματιδίων. Αν η πυκνότητα γίνει μεγαλύτερη από κάποια τιμή, περισσότερα από 1 σωματίδια θα καταλάβουν την ίδια κβαντική κατάσταση. Από αυτή την τιμή και άνω, κάθε καινούριο σωματίδιο θα καταλαμβάνει την θεμελιώδη στάθμη.

Η θερμοκρασία μετάπτωσης είναι:

${\displaystyle \,N=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{p(k) \over 1-p(k)}=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over e^{k^{2} \over 2mT}-1}}$ ,

όπου:

${\displaystyle \,p(k)=e^{-k^{2} \over 2mT}}$ 

• Cretan Matter-Waves / Bose-Einstein Condensation group