Конденсат Бозе — Эйнштейна

В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. 70 лет спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до 170 нанокельвинов (нК) (1,7⋅10⁻⁷ К). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института, была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года.

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

${\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}},}$ 

где ${\displaystyle T_{c}}$  — критическая температура, ${\displaystyle n}$  — концентрация частиц, ${\displaystyle m}$  — масса, ${\displaystyle h}$  — постоянная Планка, ${\displaystyle k_{B}}$  — постоянная Больцмана, ${\displaystyle \zeta }$  — дзета-функция Римана, ${\displaystyle \zeta (3/2)=2{,}6124\ldots }$ .

Рассмотрим набор из ${\displaystyle N}$  невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях, ${\displaystyle |0\rangle }$  и ${\displaystyle |1\rangle .}$  Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется ${\displaystyle 2^{N}}$  различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния ${\displaystyle |0\rangle }$  или ${\displaystyle |1\rangle .}$  При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$  и в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$  почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь ${\displaystyle N+1}$  различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число ${\displaystyle K}$  частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$  (и ${\displaystyle N-K}$  частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ ); при этом ${\displaystyle K}$  может изменяться от 0 до ${\displaystyle N}$ . Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |1\rangle ,}$  распределена равномерно по отрезку [0, 1]. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии ${\displaystyle |0\rangle ,}$  реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$  и половиной — в состоянии ${\displaystyle |1\rangle ,}$  или конфигурация со всеми частицами в состоянии ${\displaystyle |1\rangle .}$ 

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$  выше, чем в состоянии ${\displaystyle |0\rangle ,}$  на величину ${\displaystyle E}$ ), то при температуре ${\displaystyle T}$  частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ . Отношение вероятностей равно ${\displaystyle \exp(-E/k_{B}T)}$ .

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния ${\displaystyle |0\rangle ,}$  и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение ${\displaystyle K}$  задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии ${\displaystyle K}$  равна ${\displaystyle KE}$  (поскольку ровно ${\displaystyle K}$  частиц занимают уровень с энергией ${\displaystyle E}$ ). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

${\displaystyle P(K)=Ce^{-KE/k_{B}T}=Cp^{K}}$ .

Для достаточно больших ${\displaystyle N}$  нормировочная константа ${\displaystyle C}$  равна ${\displaystyle (1-p)}$ . Ожидаемое число частиц в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$  в пределе ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$  равно ${\textstyle \sum \limits _{n>0}Cnp^{n}=p/(1-p)}$ . При больших ${\displaystyle N}$  эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как ${\displaystyle |k\rangle .}$  Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, ${\textstyle p/(1-p)}$ :

${\displaystyle N=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{p(k) \over 1-p(k)}=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over e^{k^{2} \over 2mk_{B}T}-1},}$ 
${\displaystyle p(k)=e^{-k^{2} \over 2mk_{B}T}.}$ 

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, ${\displaystyle \mu }$  не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако ${\displaystyle \mu }$  меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

В 1924 году в журнале Zeitschrift für Physik вышла статья Шатьендраната Бозе о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел квантовый закон излучения Планка без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации. Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета.

В 1925 году, на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики. Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах. Результатом их усилий стала концепция бозе-газа, который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4, могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В 1938 году Фриц Лондон предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения сверхтекучести в ⁴He и сверхпроводимости.

В 1995 году Эрику Корнеллу и Карлу Вимену из Национального института стандартов и технологий США при помощи лазерного охлаждения удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле, который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке, в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

В 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем 0,2 мм/с, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия. До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C.

В 2010 году был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов.

К 2012 году, используя сверхнизкие температуры 10⁻⁷ K и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов: (⁷Li, ²³Na, ³⁹K, ⁴¹K, ⁸⁵Rb, ⁸⁷Rb, ¹³³Cs, ⁵²Cr, ⁴⁰Ca, ⁸⁴Sr, ⁸⁶Sr, ⁸⁸Sr, ¹⁷⁴Yb, ¹⁶⁴Dy, и ¹⁶⁸Er).

В 2014 году сотрудникам Лаборатории холодного атома (Cold Atom Laboratory, CAL) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции. Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС.

В 2018 году российские физики под руководством Игоря Ткачёва разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи.

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в теории Бардина–Купера–Шриффера.

В 2022 году исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99 % атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК.