Physik Interferenz: Änderung der Amplitude bei der Überlagerung von Wellen nach dem Superpositionsprinzip

Interferenz tritt bei allen Arten von Wellen auf, also bei Schall-, Licht-, Materiewellen usw.

An Orten, wo sich die Wellen dabei gegenseitig auslöschen, herrscht destruktive Interferenz. An Orten, wo sie sich verstärken, herrscht konstruktive Interferenz. Ein Zeichen für das Auftreten von Interferenz zweier Wellenfelder sind abwechselnde (Interferenz-)Maxima und -Minima der Intensität, wo jedes Wellenfeld für sich eine gleichmäßige Intensität hatte. Diese Folge von konstruktiver und destruktiver Interferenz wird als Interferenzmuster bezeichnet. Ein bekanntes Beispiel sind die hellen bzw. dunklen Streifen beim Doppelspaltversuch. Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für die Wellennatur der untersuchten Strahlung.

Kohärenz

 

Das Wellenfeld, das aus der Interferenz zweier oder mehrerer Wellen entsteht, kann nur dann zeitlich stabil sein, wenn diese Wellen untereinander eine (zeitlich) feste Phasenbeziehung aufweisen. Man spricht dann von kohärenten Wellen. Sind die Wellen nicht monochromatisch, bestehen also aus einer ganzen Reihe von Frequenzanteilen, so definiert man eine Kohärenzzeit, die beschreibt, wie die Wellen maximal gegeneinander verschoben sein dürfen, um noch ein stabiles Wellenfeld zu erzeugen. Diese Kohärenzzeit (oder die daraus abgeleitete Kohärenzlänge) ist ein wichtiges Maß für physikalische Lichtquellen.

Destruktive Interferenz

Zwei Wellen löschen sich gegenseitig völlig aus, wenn ihre Auslenkungen am betrachteten Ort und Zeitpunkt entgegengesetzt gleich sind. Damit das an diesem Ort für längere Zeit so bleibt, müssen harmonische (d. h. sinusförmige) Wellen gleiche Frequenz haben und um eine halbe Schwingungsperiode bzw. eine halbe Wellenlänge gegeneinander versetzt sein (siehe Phasenverschiebung bzw. Gangunterschied). Bei Transversalwellen (z. B. Licht) müssen die Auslenkungen in derselben Ebene liegen, bei komplexen Wellen (z. B. quantenmechanische Wellenfunktion) muss die komplexe Phase der Amplitude übereinstimmen.

Polarisation

Schallwellen in Festkörpern und elektromagnetische Wellen können polarisiert sein. Untersuchungen zur Interferenz von polarisiertem Licht führten 1817 zu der Erkenntnis, dass es sich bei Lichtwellen um Transversalwellen handelt, siehe Fresnel-Arago-Gesetze. Danach interferieren Wellen, wenn sie senkrecht zueinander polarisiert sind, nicht. Das gilt aber nur für die Beobachtung mit Detektoren, die wie die oben angeführten Beispiele lediglich die Intensität (proportional zum Betragsquadrat der Wellenamplitude des elektrischen Anteils der Welle) messen.

Eine Welle wird üblicherweise durch eine Funktion von Ort ${\displaystyle \mathbf {x} }$  und Zeit ${\displaystyle t}$  geschrieben ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\,.}$  Dieses bringt zum Ausdruck, dass sich eine Welle sowohl im Raum, als auch in der Zeit ausbreitet. Überlagern sich nun mehrere Wellen ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,t)}$  an einem Ort ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} \,,}$  so lässt sich das Wellenfeld dort als Superposition (Summe) der einzelnen Wellen darstellen:

${\displaystyle f_{\mathrm {ges} }(\mathbf {x_{0}} ,t)=\sum \limits _{i}f_{i}(\mathbf {x_{0}} ,t)\,}$ .

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber unterschiedlicher Phase

Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt sich anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen ${\displaystyle f_{1}(t)}$  und ${\displaystyle f_{2}(t)}$  mit der gemeinsamen Frequenz ${\displaystyle \omega }$ , der Amplitude ${\displaystyle a}$  und den Phasen ${\displaystyle \varphi _{1}}$  und ${\displaystyle \varphi _{2}}$  durch

${\displaystyle f_{1}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{1})}$  und ${\displaystyle f_{2}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{2})\,}$ 

beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen

${\displaystyle f_{1}(t)+f_{2}(t)=a\left(\sin(\omega t+\varphi _{1})+\sin(\omega t+\varphi _{2})\right)=2a\cos \left({\frac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\sin \left(\omega t+{\frac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\,}$ ,

d. h., es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist.

Für gleiche Phasen der Wellen (${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ ) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von ${\displaystyle 2a}$ , d. h., die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht.

Für eine Phasendifferenz von 180° (${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}+\pi }$ ) wird der Cosinus Null, d. h., die resultierende Welle verschwindet. Dieses entspricht destruktiver Interferenz.

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase

Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen ${\displaystyle g_{1}(t)}$  und ${\displaystyle g_{2}(t)}$  besitzen die gemeinsame Frequenz ${\displaystyle \omega }$ , die Amplituden ${\displaystyle a_{1}}$  und ${\displaystyle a_{2}}$  und die Phasen ${\displaystyle \varphi _{1}}$  und ${\displaystyle \varphi _{2}}$ 

${\displaystyle g_{1}(t)=a_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}$  und ${\displaystyle g_{2}(t)=a_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})\,}$ .

Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form:

${\displaystyle g_{1}(t)+g_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )\,}$ 

mit der Amplitude:

${\displaystyle A={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}\,}$ 

und der Phase ${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a_{1}\sin(\varphi _{1})+a_{2}\sin(\varphi _{2})}{a_{1}\cos(\varphi _{1})+a_{2}\cos(\varphi _{2})}}\,}$ .

Überlagerung von Kreiswellen

Die Abbildung 1 zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die bunten Kreise die Wellenfronten der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. In den grauen Bereichen befinden sich Intensitätsminima aufgrund von destruktiver Interferenz. Der Abbildung 2 ist zu entnehmen, dass die Minima und Maxima auf einer Hyperbel­schar liegen, deren Brennpunkte die Quellorte der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Minima ${\displaystyle n}$ -ter Ordnung liegen dabei auf den Punkten, an denen eine Kreiswelle den zusätzlichen Weg ${\displaystyle \Delta s=(n-0{,}5)\lambda }$  mit ${\displaystyle n\in \{1;2;3;\ldots \}}$  gegenüber der anderen Kreiswelle zurücklegt. Der Gangunterschied ${\displaystyle \Delta s}$  der zwei Wellen muss also ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$  sein, damit destruktive Interferenz auftritt. Konstruktive Interferenz ist dort am stärksten, wo der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.

In der Abbildung 3 wird die Veränderung des Interferenzbildes in Abhängigkeit von der Wellenlänge (nimmt von oben nach unten zu) und in Abhängigkeit vom Abstand der Quellen (nimmt von links nach rechts zu) demonstriert. In den dunklen Bereichen (um die Interferenzminima) liegt destruktive und in den hellen (Maxima) konstruktive Interferenz vor.

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  Abbildung 1: Simulierte Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude
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  Abbildung 2: Minima rot gestrichelt, Maxima in blau
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  Abbildung 3: Interferenz zweier Kreiswellen für verschiedene Verhältnisse von Wellenlänge und Quellenabstand

Es gibt zahlreiche physikalische Erscheinungen, die auf der Interferenz von Wellen, meist elektromagnetischer Wellen (Licht), basieren. Im Folgenden sollen einige bekannte Beispiele aus verschiedenen Bereichen kurz beschrieben werden.

Schwebung und stehende Welle

 

Überlagert man zwei Wellen mit ungleichen, aber nahe beieinander liegenden Frequenzen ${\displaystyle \nu _{1}}$  und ${\displaystyle \nu _{2}}$ , so ergibt sich durch die Schwebung ein Muster, wie es im unteren Graph in Abb. 3 gezeigt ist. Es bildet sich eine schnelle Oszillation aus (${\displaystyle \nu _{\text{schnell}}={\tfrac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}\,,}$  in brauner Farbe), deren Amplitude sich mit einer langsamen Frequenz (${\displaystyle \nu _{\text{Schwebung}}={\tfrac {|\nu _{2}-\nu _{1}|}{2}}\,}$ , blau) ändert. Betrachtet man Intensitäten mit einem Detektor, so ist zusätzlich noch eine zeitliche Mittelung über das Abtastintervall ${\displaystyle {\tfrac {1}{f_{a}}}}$  durchzuführen, wobei ${\displaystyle f_{a}}$  die Abtastfrequenz des Detektors ist.

Für normale Lichtquellen und Frequenzen, die so weit auseinanderliegen, dass Schwebung praktisch keine Rolle spielt, ist das (zeitlich gemittelte) Interferenzmuster die Summe der Interferenzmuster der einzelnen Frequenzen. Das beruht darauf, dass die Interferenz zwischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen – aufgrund des Fehlens einer festen Phasenbeziehung – in der zeitlichen Mittelung wegfällt. Für dichromatisches Licht erhält man in diesem Fall:

${\displaystyle I=\langle \left|{\vec {S}}(t)\right|\rangle _{t}=\langle c\,\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}_{1}(t)+{\vec {E}}_{2}(t)\right)^{2}\rangle _{t}=I_{1}+I_{2}+\underbrace {\langle 2c\,\varepsilon _{0}{\vec {E}}_{1}(t){\vec {E}}_{2}(t)\rangle _{t}} _{=0},}$ 

wobei ${\displaystyle {\vec {S}}}$  der Poynting-Vektor ist.

Zum Stimmen von Musikinstrumenten kann man die entsprechende Einstellung solange verändern, bis man zusammen mit einem Referenzton (bspw. aus einer Stimmgabel) keine Schwebung mehr wahrnimmt. Die Vermessung von Schwebungssignalen kann auch zur Messung von ansonsten (für das Messgerät) zu hohen Frequenzen genutzt werden. Dazu ist allerdings eine Signalquelle notwendig, die Signale mit sehr stabiler und präziser Frequenz liefert.

Die Interferenz zweier Wellen gleicher Wellenlänge, aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung führt zu einer stehenden Welle.

Doppelspaltexperiment

Mit dem Doppelspaltexperiment erbrachte Thomas Young 1802 erstmals Belege für die Wellennatur des Lichts. Bei diesem Versuch wird in dem Weg eines Lichtstrahls eine Blende mit einem Doppelspalt aufgestellt, wobei der Abstand der Spalte in der Größenordnung der Wellenlänge liegt. Dahinter befindet sich ein Schirm, auf dem sich bei genügend großem Abstand der Lichtquelle vom Schirm ein Interferenzmuster bildet. Ist nur ein Spalt offen und breit genug, so bildet sich das typische Beugungsmuster eines Einfachspalts. Analog lässt sich mit einem Elektronenstrahl der Wellencharakter von Elektronen zeigen, darauf wird im Abschnitt über Interferenz in der Quantenmechanik (s. u.) näher eingegangen.

Interferenzfarben

Weißes Licht, welches an dünnen Schichten optisch transparenter Materialien (wie z. B. einem Ölfilm auf Wasser, einer dünnen Oxidschicht auf Metallen, oder einfach Seifenblasen) reflektiert wird, erscheint häufig farbig. Dabei interferiert das Licht, das an der oberen und unteren Grenzfläche der dünnen Schicht reflektiert wird. Richtungsabhängig wird dann das Licht einer bestimmten Wellenlänge ausgelöscht und es bleibt nur die Komplementärfarbe zum ausgelöschten Licht übrig.

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  Interferenzfarben durch eine Oxidschicht auf dem Metall Bismut
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  Interferenzfarben in gebrochenem Eis
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  Interferenzfarben in Nagellackschicht
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  Interferenzfarben im Gefieder der Purpurkehlnymphe
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  Schwarzer Edelopal mit vollem, opalisierendem Farbenspiel

Ein bekanntes Beispiel für das Auftreten von Interferenzfarben an zwei eng benachbarten Oberflächen sind die Newton-Ringe. Hierbei liegt eine Sammellinse mit langer Brennweite auf einer ebenen Glasplatte auf. Um den Berührungspunkt herum entsteht zwischen den Glasoberflächen ein Spalt mit langsam nach außen hin zunehmender Dicke. Wird diese Anordnung mit monochromatischem Licht von oben beleuchtet, treten sowohl in Reflexion als auch in Durchsicht konzentrische helle und dunkle Ringe rund um den Berührungspunkt von Linse und Glasplatte auf. Wird die Versuchsanordnung mit weißem Licht ausgeleuchtet, dann entstehen farbige, konzentrische Ringe. Die Breite der Ringe und die Intensität ihrer Farben nimmt mit zunehmendem Radius ab.

Die irisierenden Farben der Opaleszenz sind ebenfalls eine Folge von Interferenz. Dabei wird das Licht an kleinen Strukturen im Inneren des Materials gestreut. Die Farben vieler Schmetterlinge, einiger besonders prächtig schillernder Vögel oder des Edelsteins Opal beruhen auf diesem Effekt. Sie werden daher auch Strukturfarben genannt.

Weißlichtinterferenz

 

Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der Kohärenzlänge. In der Weißlichtinterferometrie wird dieses Verhalten ausgenutzt, um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der Optischen Kohärenztomografie, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

Laser-Speckle

 

Das Licht eines aufgeweiteten Laserstrahls weist eine nahezu perfekte Kohärenz senkrecht zum Strahl auf. Dieses führt dazu, dass Laserlicht auch nach der Reflexion an unebenen Oberflächen noch interferenzfähig ist. Dann dient jeder Punkt der Fläche als Streuzentrum/Punktquelle einer sekundären Kugelwelle. Eine optische Abbildung dieser Punktquellen überlagert im Bild das Licht, das einen Bildpunkt auf unterschiedlichen Wegen erreicht. Diese Überlagerung führt am Bildpunkt zu Interferenz. Deren Ergebnis ist abhängig von der genauen Lauflänge des Lichtes zwischen Punktquelle und Bildpunkt. Ein Weglängenunterschied in der Größe der halben Wellenlänge des Lichtes entscheidet über destruktive oder konstruktive Interferenz. Insgesamt ergibt sich ein zufällig verteiltes Punktmuster am Ort der Abbildung.

Antischall

In der Akustik wird destruktive Interferenz zur Reduktion von störenden Geräuschen ausgenutzt, sogenannter Antischall. Dieses Prinzip kommt z. B. in Kopfhörern für Flugzeugpiloten zum Einsatz, um den Maschinenlärm lokal zu dämpfen.

Interferometer

In der Messtechnik werden Interferometer eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder Phasenverschiebungen mit sehr hoher Auflösung. Dazu wird ein (Licht-)Strahl in zwei kohärente Teile aufgespaltet, die später wieder überlagert werden. Die beiden Strahlen legen dabei unterschiedliche Strecken ${\displaystyle s_{1}}$  und ${\displaystyle s_{2}}$  zurück. Unterscheiden diese sich um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so erhält man am Ausgang des Interferometers konstruktive Interferenz. Unterscheiden sie sich um eine halbe Wellenlänge (Phasenverschiebung ${\displaystyle \Delta \varphi =180^{\circ }}$ ), so erhält man destruktive Interferenz. Stellt man nun das Interferometer zunächst auf konstruktive Interferenz ein und führt dann eine zusätzliche Phasenverschiebung ${\displaystyle \Delta \varphi }$  in einem der beiden Arme ein, so kann man diese über die Intensität am Ausgang des Interferometers bestimmen.

Es gibt verschiedene Umsetzungen dieses Prinzips: Mach-Zehnder-Interferometer, Michelson-Interferometer, Sagnac-Interferometer, Fabry-Pérot-Interferometer etc.

Funktechnik

Durch Phasenverschiebung zwischen den Antennenelementen einer Phased-Array-Antenne kann die Beobachtungsrichtung sehr schnell umgeschaltet werden. Die genaue Analyse der Phasenverschiebungen zwischen den Einzelantennen von Radioteleskopen erlaubt es, die Richtung entfernter Strahlungsquellen außerordentlich exakt zu ermitteln. Ein Antennendiagramm zeigt die Strahlungscharakteristik von Einzelantennen oder Antennengruppen, deren Gestalt durch Interferenz festgelegt wird. Bei der Yagi-Uda-Antenne wird auf diese Weise die Strahlungsenergie in eine schmale Vorwärtskeule gebündelt, wodurch sich die gewünschte Richtwirkung ergibt.

Im Balanced Duplexer wird bei hoher Sendeleistung eine Gasentladungsröhre gezündet, die auf die Wellen fast wie ein Kurzschluss wirkt. Durch geschickte Energieverteilung auf zwei getrennte Zweige eines Hohlleiters mit unterschiedlicher Phasenverschiebung und anschließendes Zusammenführen beider Anteile wird erreicht, dass die Sendeenergie zur Antenne fließt (konstruktive Interferenz) und nicht zum Empfänger (destruktive Interferenz).

Ein Diplexer ermöglicht durch destruktive bzw. konstruktive Interferenz in getrennten Zweigen einer Anordnung aus Hohlleitern, dass zwei Funkgeräte unterschiedlicher Wellenlänge mit einer Antenne betrieben werden können. Auf ähnliche Weise wird in einem Ringkoppler die Summe bzw. Differenz zweier gleichfrequenter Signale gebildet.

Anschauliche Erklärung

 

In der Quantenmechanik spielen Interferenzphänomene eine entscheidende Rolle. Teilchen (und allgemeiner beliebige Zustände eines Systems) können durch Wellenfunktionen beschrieben werden. Diese sind die Lösungen der Schrödingergleichung, die eine Form ähnlich einer Wellengleichung annehmen kann. Damit können sich Teilchen, also Materie, in der Quantenmechanik wie Wellen verhalten und auch interferieren (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus, Materiewellen). Ein bekanntes Beispiel ist etwa die Interferenz von Elektronen in einem Doppelspaltexperiment (siehe die Bilder rechts) oder die Interferenz zweier Bose-Einstein-Kondensate.

Der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger ist es 1999 gelungen, ein Interferenzmuster von Fullerenen (Molekülen aus 60 oder 70 Kohlenstoff-Atomen) zu beobachten. Dieses sind bei weitem noch nicht die schwersten Teilchen, für die Quanteninterferenz beobachtet werden konnte. Die Forschungsgruppe um Markus Arndt konnte 2010 Quanteninterferenz mit Molekülen aus bis zu 430 Atomen und Massen bis fast 7000 atomaren Masseneinheiten (amu) zeigen. Das größte Molekül, mit dem bis 2016 solche Beugungsbilder erzeugt werden konnten, ist Meso-tetra(pentafluorophenyl)porphyrin (TPPF20, C₂₈₄H₁₉₀F₃₂₀N₄S₁₂) mit einer Molekülmasse von 10123 amu.

Bemerkenswert an dieser Form von Interferenz ist auch, dass die Messung, welchen Weg ein Quantenobjekt gewählt hat, dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird – also keine Interferenz auftritt. In einer Doppelspaltanordnung hängt das Interferenzmuster also davon ab, ob man herausfinden kann, welchen Weg (durch Spalt 1 oder Spalt 2) das Quantenobjekt nahm. Dies gilt auch, wenn der Weg des Quantenobjekts nicht schon beim Passieren der Spalte, sondern erst später festgestellt wird (Delayed-Choice-Experiment). Nur wenn eine Gewinnung der „Welcher-Weg“-Information nie erfolgte oder sie durch einen Quantenradierer wieder getilgt wurde, ergibt sich hinter dem Doppelspalt ein Interferenzbild.

Mathematische Fassung

In der Bra-Ket-Notation lässt sich ein beliebiger quantenmechanischer Zustand in einer orthonormierten Basis ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$  (${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$ ) darstellen. Dabei sind die ${\displaystyle c_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }$  komplexe Koeffizienten:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum \limits _{i}c_{i}\cdot |i\rangle ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi \rangle =\sum \limits _{i}b_{i}\cdot |i\rangle \,}$ 

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$  bei der Messung den Zustand ${\displaystyle |\phi \rangle }$  ergibt lautet dann:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\psi \rightarrow \phi )=|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}=\left|\sum \limits _{i}c_{i}^{\ast }b_{i}\right|^{2}=\sum \limits _{i,j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}=\sum \limits _{i}|c_{i}|^{2}|b_{i}|^{2}+\sum \limits _{i\neq j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}\,}$ 

Wichtig ist hier, dass nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen ${\displaystyle \rho (x)=|\langle x|\psi \rangle |^{2}}$  überlagert werden, sondern die (komplexen) Wellenfunktionen selbst. Würden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagert, so würde man in obiger Formel den hinteren Interferenzanteil verlieren und das Interferenzmuster verschwindet.

De Broglie postulierte bereits Anfang des 20. Jahrhunderts, dass allen massiven Teilchen eine Wellenlänge ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}$  zugeschrieben werden kann, wobei ${\displaystyle p}$  der Impuls des Teilchens ist und ${\displaystyle h}$  das Plancksche Wirkungsquantum. Mit dieser Wellenlänge kann man direkt die Wellenfunktion ${\displaystyle f({\vec {x}},t)}$  für ein Teilchen konstruieren und so die Interferenzmuster mit den weiter oben für Licht beschriebenen Methoden berechnen.

• Fresnel-Arago-Gesetze

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Joachim Streubel, Jochen Balla: Quantenmechanik. 3. Auflage. Band 1. Walter de Gruyter, Berlin/New York 2007, ISBN 978-3-11-019324-4. 
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantenmechanik. 3. Auflage. Band 2. Walter de Gruyter, Berlin/New York 2008, ISBN 978-3-11-020149-9. 

 

Commons: Interferenz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Interaktive Animation zur Interferenz von Kreiswellen
• Simulationen mit Zeitfunktionen
• Online-Rechner für Interferenzfarben an dünnen Schichten
• Interferenz von einzelnen Photonen im Interferometer mit Quantenradierer (QuantumLab)
• Beugung und Interferenz (LEIFI)
• Simulation zu Interferenz zweier stehender Wellen
• Animierter Film zur Farbe von Seifenblasen (englisch)
• Video: Erzeugung und Überlagerung kohärenter Wellen zu Interferenzstrukturen. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14880.