Інтерференція Хвиль

 

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та поздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результативне коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результативна амплітуда А вираховується за формулою:

${\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \alpha }}}$ ,

де ${\displaystyle A_{1}}$  та ${\displaystyle A_{2}}$  — амплітуди відповідних хвиль, ${\displaystyle \alpha }$  — різниця фаз цих хвиль.

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель одновимірної хвилі

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x, можна подати в такому вигляді:

${\displaystyle y(x,t)=A\cdot \sin {\frac {2\pi }{T_{x}}}\left(t-{\frac {x}{v_{x}}}\right)}$ ,

де ${\displaystyle t}$  — змінна часу, ${\displaystyle A}$  — амплітуда коливання, ${\displaystyle T_{x}}$  — період коливань, ${\displaystyle v_{x}}$  — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {2\pi }{T_{x}}}={\frac {2\pi v_{x}}{\lambda _{x}}}}$ ,

де ${\displaystyle \lambda _{x}}$  -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}={\frac {\omega _{x}}{v_{x}}}}$ .

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

${\displaystyle y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin(\omega _{x}t-k_{x}x)}$ ,

де ${\displaystyle \phi (x,t)=\omega _{x}t-k_{x}x}$  — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвилі

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою ${\displaystyle \omega }$ , ширина якої рівна нулю

${\displaystyle \Delta (\omega )=0}$ .

В рамках моделі інтерференції Захар'євського розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

${\displaystyle y_{1}=A_{1}\sin \phi _{1}=A_{1}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{1})}$ 
${\displaystyle y_{2}=A_{2}\sin \phi _{1}=A_{2}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{2})}$ 

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

${\displaystyle y=y_{1}+y_{2}=A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}=(A_{1}+A_{2}\cos \psi )\sin \phi _{1}-A_{2}\sin \psi \cos \phi _{1}}$ ,

де різниця фаз двох коливань буде:

${\displaystyle \psi =\phi _{1}-\phi _{2}=k_{x}(x_{2}-x_{1})={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}}$ ,

де ${\displaystyle \Delta _{x}=x_{2}-x_{1}}$  — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

${\displaystyle A_{1}+A_{2}\cos \psi =A\cos \theta }$ 
${\displaystyle A_{2}\sin \psi =A\sin \theta }$ .

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

${\displaystyle A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \psi }$ .

Кути ${\displaystyle \theta }$  та ${\displaystyle \psi }$  пов'язані між собою таким чином:

${\displaystyle tg\theta ={\frac {A_{2}\sin \psi }{A_{1}+A_{2}\cos \psi }}}$ /

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

${\displaystyle y(x_{1},t)=A\cos \theta \sin \phi _{1}-A\sin \theta \cos \phi _{1}=A\sin(\phi _{1}-\theta )=A\sin(\omega t-k_{x}x_{1}-\theta )}$ 

Оскільки енергія коливань залежить від квадрата амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:

${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{x}2\pi }$ 
${\displaystyle \Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x},\pm 2\lambda _{x},\dots ,\pm N_{x}\lambda _{x}}$ 

де ${\displaystyle N_{x}}$  — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

${\displaystyle (A^{2})_{max}=(A_{1}+A_{2})^{2}}$ .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

${\displaystyle (A^{2})_{min}=(A_{1}-A_{2})^{2}}$ 

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{x}+1)\pi }$ 
${\displaystyle \Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x}/2,\pm 2\lambda _{x}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\lambda _{x}/2}$ .

Часто буває, що амплітуди коливань є однакові ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ . Тоді сумарна амплітуда буде:

${\displaystyle A^{2}=2A_{1}^{2}(1+\cos \theta )=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\theta /2=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}\right)}$ 

її максимальне значення ${\displaystyle (A^{2})_{max}=4A_{1}^{2}}$ , а мінімальне — ${\displaystyle (A^{2})_{min}=0}$ . Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два дзеркала Френеля, розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом ${\displaystyle \sigma }$ . Якщо ${\displaystyle n_{x}}$ -а смуга знаходиться від центру поля на відстані ${\displaystyle y_{1}}$ , то для неї різниця ходу рівна

${\displaystyle \Delta _{x1}=n_{x}\lambda _{x}={\frac {ay_{1}}{L}}}$ ,

де ${\displaystyle a}$ - відстань між двома когерентними джерелами світла, а ${\displaystyle L}$ - база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої ${\displaystyle n_{x}+1}$  -ї смуги, яка знаходиться від центру поля на відстані ${\displaystyle y_{2}}$ , маємо

${\displaystyle \Delta _{x2}=(n_{x}+1)\lambda _{x}={\frac {ay_{2}}{L}}}$ .

Очевидно, що різниця ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$  рівна ширині смуги, звідки знаходимо

${\displaystyle \sigma _{x}=y_{2}-y_{1}={\frac {L\lambda _{x}}{a}}}$ .

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії (${\displaystyle \Delta \omega =0}$ ), залежить від довжини хвиль,що (с-)падають.

Модель двох близьких частот

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\ll \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ .

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

${\displaystyle z_{1}(x,t)=A_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})}$ 
${\displaystyle z_{2}(x,t)=A_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2})}$ .

У випадку рівності амплітуд ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$  та фаз ${\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}}$  сумарне значення двох хвиль буде:

${\displaystyle z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A(\sin \omega _{1}t+\sin \omega _{2}t)=2A\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\cdot \sin \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right)}$ 

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

${\displaystyle \omega =\omega _{av}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2}$ ,

а різницю частот

${\displaystyle \Omega =\omega _{mod}=(\omega _{1}-\omega _{2})/2}$ 

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

${\displaystyle A_{mod}(t)=2A\cos \Omega t}$ .

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

${\displaystyle z_{tot}(t)=A_{mod}\sin \omega t}$ .

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

${\displaystyle z(x,y,t)=2A\cos[\Omega (t+y/v)]\cdot \sin[\omega (t-x/v)]}$ .

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі ${\displaystyle x}$ , а модуляційні — вздовж осі ${\displaystyle y}$ . Кутові частоти тут будуть

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {2\pi v}{\lambda _{x}}}}$ 
${\displaystyle \Omega _{y}={\frac {2\pi v}{\Lambda _{y}}}}$ .

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

${\displaystyle k_{x}={\frac {\omega _{x}}{v}}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}}$ 
${\displaystyle k_{y}={\frac {\Omega _{y}}{v}}={\frac {2\pi }{\Lambda _{y}}}}$ .

Оскільки ${\displaystyle \omega _{x}\gg \Omega _{y}}$ , тому

${\displaystyle \Lambda _{y}={\frac {2\pi v}{\Omega _{y}}}\gg \lambda _{x}={\frac {2\pi v}{\omega _{x}}}}$ .

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в (${\displaystyle x,y}$ ) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

${\displaystyle K_{M}={\frac {\omega _{x}}{\Omega _{y}}}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}\gg 1}$ .

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

${\displaystyle K_{2D}=K_{M}\gg 1}$ .

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

${\displaystyle z_{1}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{1}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z1}\cos \phi _{z1}=A_{z1}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1})}$ 
${\displaystyle z_{2}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{2}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z2}\cos \phi _{z1}=A_{z2}\cos(\Omega t-k_{y}y_{2})}$ .

де

${\displaystyle A_{z}=A_{z1}=A_{z2}=2A\sin(\omega t-k_{x}x)}$ 
${\displaystyle \psi _{z}=\phi _{z1}-\phi _{z2}=k_{y}(y_{2}-y_{1})={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}}$ 

а ${\displaystyle \Delta _{y}=y_{2}-y_{1}}$  - різниця ходу вздовж осі ${\displaystyle y}$ . Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

${\displaystyle z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A_{z1}\cos \phi _{1}+A_{z2}\cos(\phi _{z1}-\psi _{z})=(A_{z1}+A_{z2})\cos \phi _{1}+A_{z2}\sin \psi \sin \phi _{1}}$ 

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

${\displaystyle A_{z1}+A_{z2}\cos \psi =A_{zz}\cos \theta _{z}}$ 
${\displaystyle A_{z2}\sin \psi _{z}=A_{zz}\sin \theta _{z}}$ 

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

${\displaystyle z_{tot}=A_{zz}\cos \theta _{z}\cos \phi _{z1}+A_{zz}\sin \theta _{z}\sin \phi _{z1}=A_{zz}\cos(\phi _{z1}-\theta _{z})=A_{zz}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1}-\theta _{z})}$ 

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

${\displaystyle A_{zz}^{2}=2A_{z}^{2}(1+\cos \psi _{z})}$ 
${\displaystyle tg\theta _{z}={\frac {sin\psi _{z}}{1+\cos \psi _{z}}}}$ 

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{y}2\pi }$ 
${\displaystyle \Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y},\pm 2\Lambda _{y},\dots ,\pm N_{y}\Lambda _{y}}$ 

де ${\displaystyle N_{y}}$  - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

${\displaystyle (A_{zz}^{2})_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^{2}}$ .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

${\displaystyle (A_{zz}^{2})_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^{2}}$ ,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{y}+1)\pi }$ 
${\displaystyle \Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y}/2,\pm 2\Lambda _{y}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\Lambda _{y}/2}$ .

Геометрична модель модуляційної інтерференції

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:

${\displaystyle \Delta _{y}={\frac {ay}{L}}=N_{y}\Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}}$ ,

а також співвідношення між ширинами смуг:

${\displaystyle N_{x}\sigma _{x}=N_{y}\Sigma _{y}}$ .

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі ${\displaystyle x}$  з частотою ${\displaystyle \omega _{x}}$  та модуляційних коливань вздовж осі ${\displaystyle y}$  з частотою ${\displaystyle \Omega _{y}}$ . Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:

${\displaystyle K_{M}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}={\frac {N_{x}}{N_{y}}}={\frac {\Sigma _{y}}{\sigma _{x}}}\gg 1}$ .

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг ${\displaystyle \Sigma _{y}}$  (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг ${\displaystyle \sigma _{x}}$ , а це означає що ${\displaystyle N_{x}\gg N_{y}}$ .

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою ${\displaystyle \omega _{x}}$  має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот ${\displaystyle \omega _{x1}\neq \omega _{x2}}$  різниця порядків інтерференції ${\displaystyle N_{x1}}$  та ${\displaystyle N_{x2}}$  повинна бути малим числом:

${\displaystyle N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_{y}=0,1,2,\dots }$ 

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

${\displaystyle \Delta _{x}=N_{x1}\lambda _{x1}=(N_{x1}-n_{y})\lambda _{x2}}$ 

або

${\displaystyle N_{x1}={\frac {n_{y}\lambda _{x1}}{\lambda _{x2}-\lambda _{x1}}}=n_{y}n_{x12}}$ .

Цей вираз також може переписати у формі:

${\displaystyle N_{x1}=n_{y}{\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}=n_{y}K_{MI}}$ ,

де ${\displaystyle K_{MI}={\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}\gg 1}$ , а ${\displaystyle \Omega _{y}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}={\frac {\pi v(\lambda _{2}-\lambda _{1})}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}}$ . Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої ${\displaystyle \lambda _{2}=656.2}$ нм та ${\displaystyle \lambda _{1}=486.1}$ нм, тоді

${\displaystyle n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=3.9}$ ,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де ${\displaystyle \lambda _{2}=589.2}$ нм та ${\displaystyle \lambda _{1}=589}$ нм, ми будемо мати велике число:

${\displaystyle n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=983}$ .

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль ${\displaystyle K_{MI}=0.5n_{x12}=500}$ . Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим ${\displaystyle K_{MI}=0.5n_{x12}=2}$ . Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:

${\displaystyle \Sigma _{y}=\sigma {\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}=\sigma _{x}N_{x}}$ 

при ${\displaystyle \Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}}$ . Тому "зміщення ширини смуги" має вигляд:

${\displaystyle \Delta (\Sigma _{y})=\Sigma _{y1}-\Sigma _{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma _{x}=n_{y}\sigma _{x}}$ .

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:

${\displaystyle [\Delta (\Sigma _{y})]_{min}=\sigma _{x}}$ 

при ${\displaystyle n_{y}=1}$ . Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

${\displaystyle \delta _{y}={\frac {[\Delta (\Sigma _{y})]_{min}}{\Sigma _{y}}}={\frac {\sigma _{x}}{N_{x}\sigma _{x}}}={\frac {1}{N_{x1}}}}$ 

де ${\displaystyle N_{x1}=n_{y}{\frac {\lambda _{x2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\gg 1}$ .

• Інтерферометр
• Муар
• Стояча хвиля
• Биття

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.
• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.
• Ландсберг Г. С. Оптика. — М. : Физматлит, 2010. — 848 с.
• Сивухин Д. В. Оптика // Общий курс физики. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 4. — 792 с.

• Java demonstration of interference (англ.)
• Flash animations demonstrating interference [Архівовано 24 червня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.