Mathematik Hyperbel

Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition einer Hyperbel als Ortskurve).

Jede Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch die Gleichung ${\displaystyle \;{\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;}$ beschreiben (s. Abschnitt Gleichung).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (ὑπερβολή hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein, deutsch ‚werfen‘, ὑπερβάλλειν hyperballein, deutsch ‚über das Ziel hinaus werfen‘) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$, s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis (${\displaystyle \varepsilon =0}$) erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel (${\displaystyle \varepsilon =1}$ und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit ${\displaystyle \varepsilon >1}$.

 

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte ${\displaystyle P}$  der Zeichenebene ${\displaystyle E^{2}}$ , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$  und ${\displaystyle F_{2}}$ , konstant gleich ${\displaystyle 2a}$  ist:

${\displaystyle H=\{P\in E^{2}\mid ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\}}$ 

Der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$  der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Auf der Hauptachse liegen die beiden Scheitel ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$  im Abstand ${\displaystyle a}$  vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit ${\displaystyle e}$  bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte dimensionslose numerische Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$  ist ${\displaystyle {\tfrac {e}{a}}}$ .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

 

Bemerkung:
Die Gleichung ${\displaystyle ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a}$  lässt sich auch so interpretieren: Ist ${\displaystyle c_{2}}$  der Kreis um ${\displaystyle F_{2}}$  mit Radius ${\displaystyle 2a}$ , so hat ${\displaystyle P}$  vom Kreis ${\displaystyle c_{2}}$  denselben Abstand wie vom Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ : ${\displaystyle |Pc_{2}|=|PF_{1}|\ .}$  Man nennt ${\displaystyle c_{2}}$  den zu ${\displaystyle F_{2}}$  gehörigen Leitkreis der Hyperbel. Er erzeugt den rechten Ast

${\displaystyle H_{+}=\{P\in E^{2}\mid |Pc_{2}|=|PF_{1}|\}}$ 

der Hyperbel. Den linken Ast ${\displaystyle H_{-}}$  erhält man analog mit dem zum Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$  gehörigen Leitkreis ${\displaystyle c_{1}}$ .
Die Erzeugung einer Hyperbel mit Leitkreisen sollte man nicht verwechseln mit der Erzeugung einer Hyperbel mit Leitlinien (siehe unten).

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist ein Ast einer Hyperbel die Äquidistanz-Kurve zu einem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Gleichung

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der ${\displaystyle x}$ -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten ${\displaystyle (e,0)}$  und ${\displaystyle (-e,0)}$  (mit e = lineare Exzentrizität), und die Scheitel haben die Koordinaten ${\displaystyle (a,0)}$  und ${\displaystyle (-a,0)}$ .

Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle (x,y)}$  in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt ${\displaystyle (e,0)}$  gleich ${\displaystyle {\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}}$  und zum anderen Brennpunkt ${\displaystyle {\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}}$ . Der Punkt ${\displaystyle (x,y)}$  liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich ${\displaystyle 2a}$  oder gleich ${\displaystyle -2a}$  ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung ${\displaystyle b^{2}=e^{2}-a^{2}}$  kann man zeigen, dass die Gleichung

${\displaystyle {\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a}$ 

zur Gleichung

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

Scheitel

Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: ${\displaystyle (a,0)}$  und ${\displaystyle (-a,0)}$ . Im Gegensatz zur Ellipse sind hier ${\displaystyle (0,b)}$  und ${\displaystyle (0,-b)}$  keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten

 

Löst man die Hyperbelgleichung nach ${\displaystyle y}$  auf, so erhält man

${\displaystyle y=\pm b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$ 

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große ${\displaystyle x}$  an die Geraden

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$ 

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$ 

Der Winkel zwischen den Asymptoten (der den Brennpunkt einschließt) beträgt

${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan {\frac {b}{a}}=2\cdot \arctan {\sqrt {\varepsilon ^{2}-1}}}$ .

Halbparameter p

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter) ${\displaystyle p}$  der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$ 

Weitere Bedeutung von ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle p}$  ist der Scheitelkrümmungskreisradius,

d. h., ${\displaystyle p}$  ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung.)

Tangente

Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$  findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ :

${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \rightarrow \ y={\frac {x_{B}}{y_{B}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{B})+y_{B}.}$ 

Unter Berücksichtigung von ${\displaystyle {\tfrac {x_{B}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{B}^{2}}{b^{2}}}=1}$  ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {x_{B}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{B}}{b^{2}}}y=1.}$ 

Gleichseitige Hyperbel

Eine Hyperbel, für die ${\displaystyle a=b}$  gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist ${\displaystyle e={\sqrt {2}}a}$ , die numerische Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {2}}}$  und der Halbparameter ist ${\displaystyle p=a}$ .

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen

Mit den Hyperbelfunktionen ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$  ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ :

${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} }$ 

Hyperbel in 2. Hauptlage

Vertauscht man ${\displaystyle x}$  und ${\displaystyle y}$ , so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

 

 

Dreht man das x-y-Koordinatensystem um den Winkel ${\displaystyle -45^{\circ }}$  und nennt die neuen Koordinaten ${\displaystyle \xi ,\eta }$ , so ist ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$ .
Die gleichseitige Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$  (die Halbachsen sind gleich lang!) hat in den neuen Koordinaten die Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ . Löst man diese Gleichung nach ${\displaystyle \eta }$  auf, erhält man ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$ 

Also ist (in einem x-y-Koordinatensystem) der Graph der Funktion ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$  mit der Gleichung

• ${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0,}$  eine gleichseitige Hyperbel mit
• den Koordinatenachsen als Asymptoten,
• der Gerade ${\displaystyle y=x}$  als Hauptachse,
• dem Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$  und den Halbachsen ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}},}$ 
• den Scheiteln ${\displaystyle ({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}),(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}),}$ 
• dem Halbparameter und Scheitelkrümmungskreisradius ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}},}$ 
• der linearen Exzentrizität ${\displaystyle e=2{\sqrt {A}}}$  und der numerischen Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {2}},}$ 
• der Tangente ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$  im Punkt ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0}).}$ 

Dreht man die ursprüngliche Hyperbel um ${\displaystyle -45^{\circ }}$  (dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ), so erhält man eine gleichseitige Hyperbel mit der Gleichung

• ${\displaystyle y={\frac {-A}{x}}\;,A>0}$  mit
• den Halbachsen ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}},}$ 
• der Gerade ${\displaystyle y=-x}$  als Hauptachse,
• den Scheiteln ${\displaystyle (-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}),({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}).}$ 

Verschiebt man die Hyperbel mit der Gleichung ${\displaystyle y={\frac {A}{x}}}$  so, dass der Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  der Mittelpunkt der verschobenen Hyperbel ist, so hat die verschobene Hyperbel die Gleichung

• ${\displaystyle y={\frac {A}{x-x_{0}}}+y_{0}.}$ 

Die verschobene Hyperbel hat die Asymptoten ${\displaystyle x=x_{0}}$  und ${\displaystyle y=y_{0}}$ .
Die Parameter ${\displaystyle a,b,p,e,\varepsilon }$  ändern sich bei einer Verschiebung nicht.

 

Schneidet man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene ${\displaystyle \pi }$ , deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelinscher Kugeln ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen ${\displaystyle c_{1}}$  bzw. ${\displaystyle c_{2}}$  und die Hyperbelebene in Punkten ${\displaystyle F_{1}}$  bzw. ${\displaystyle F_{2}}$  berühren. Es stellt sich heraus, dass ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$  die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.

1. ${\displaystyle P}$  sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
2. Die Mantellinie durch ${\displaystyle P}$  schneidet den Kreis ${\displaystyle c_{1}}$  in einem Punkt ${\displaystyle A}$  und den Kreis ${\displaystyle c_{2}}$  in einem Punkt ${\displaystyle B}$ .
3. Die Strecken ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$  und ${\displaystyle {\overline {PA}}}$  sind tangential zur Kugel ${\displaystyle d_{1}}$  und damit gleich lang.
4. Die Strecken ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$  und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$  sind tangential zur Kugel ${\displaystyle d_{2}}$  und damit auch gleich lang.
5. Also ist ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$  und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt ${\displaystyle P}$ .

 

Für eine Hyperbel gilt:

• Die Tangente in einem Punkt ${\displaystyle P}$  ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$ 

Daraus folgt: Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Hyperbeltangente so reflektiert, dass er vom anderen Brennpunkt auszugehen scheint.

Beweis

Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt ${\displaystyle L}$  auf dem Brennstrahl ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ , der von ${\displaystyle F_{2}}$  den Abstand ${\displaystyle 2a}$  hat (s. Bild, ${\displaystyle a}$  ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade ${\displaystyle w}$  ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass ${\displaystyle w}$  die Tangente im Punkt ${\displaystyle P}$  ist, zeigt man, dass jeder von ${\displaystyle P}$  verschiedene Punkt ${\displaystyle Q}$  von ${\displaystyle w}$  nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also kann ${\displaystyle w}$  die Hyperbel nur im Punkt ${\displaystyle P}$  schneiden und ist damit die Tangente in ${\displaystyle P}$ . Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass ${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$  ist, d. h., es ist ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$ . Wenn ${\displaystyle Q}$  ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich ${\displaystyle 2a}$  sein.

Da eine Winkelhalbierende leicht zu zeichnen ist, bietet diese Eigenschaft eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren. Falls statt der zwei Brennpunkte die zwei Asymptoten bekannt sind, kann man die im Abschnitt Tangentenkonstruktion beschriebene Methode verwenden.

 

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand ${\displaystyle d={\tfrac {a^{2}}{e}}}$ . Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$  der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

• ${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=\varepsilon ={\frac {e}{a}}}$ 

Zum Beweis zeigt man, dass für ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-e)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=(x-{\tfrac {a^{2}}{e}})^{2}}$  und ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$  die Gleichung

${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\tfrac {e^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0}$ 

erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl ${\displaystyle \varepsilon }$  mit ${\displaystyle \varepsilon >1}$  vorgeben und eine Hyperbel definieren als

• Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich ${\displaystyle \varepsilon }$  ist.

Wählt man ${\displaystyle \varepsilon =1}$ , so erhält man eine Parabel. Für ${\displaystyle \varepsilon <1}$  ergibt sich eine Ellipse.

Zum Beweis geht man von ${\displaystyle F_{1}=(f,0),\varepsilon >0}$  und der Vorgabe, dass ${\displaystyle (0,0)}$  ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie ${\displaystyle l_{1}}$  wird dann durch die Gleichung ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{\varepsilon }}}$  beschrieben. Für ${\displaystyle P=(x,y)}$  folgt aus ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=\varepsilon ^{2}|Pl_{1}|^{2}}$ 

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=\varepsilon ^{2}(x+{\tfrac {f}{e}})^{2}=(\varepsilon x+f)^{2}}$  und hieraus ${\displaystyle x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2xf(1+\varepsilon )-y^{2}=0.}$ 

Mit der Abkürzung ${\displaystyle p=f(1+\varepsilon )}$  erhält man

${\displaystyle x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$ 

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse (${\displaystyle \varepsilon <1}$ ), einer Parabel (${\displaystyle \varepsilon =1}$ ) oder einer Hyperbel (${\displaystyle \varepsilon >1}$ ). Siehe Abschnitt Formelsammlung.

Führt man im Fall ${\displaystyle \varepsilon >1}$  neue Konstanten ${\displaystyle a,b}$  so ein, dass ${\displaystyle \varepsilon ^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$  ist, so geht die Scheitelgleichung in

${\displaystyle {\tfrac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

über. Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ${\displaystyle (-a,0)}$ , ${\displaystyle x}$ -Achse als Hauptachse und Halbachsen ${\displaystyle a,b}$ .

 

Konstruktion einer Leitlinie:

Wegen ${\displaystyle e\cdot {\tfrac {a^{2}}{e}}=a^{2}}$  sind der Punkt ${\displaystyle D_{1}}$  der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$  bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann ${\displaystyle D_{1}}$  wie im Bild gezeigt aus ${\displaystyle F_{1}}$  mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden: Der Punkt ${\displaystyle E_{1}}$  ist der Schnittpunkt des Scheitelkreises mit dem Thaleskreis (hier nicht gezeichnet) über ${\displaystyle MF_{1}}$ . Man rechnet nach, dass ${\displaystyle E_{1}}$  auch auf der Asymptote liegt. Damit gibt es die weitere Konstruktion von ${\displaystyle E_{1}}$  als Lotfußpunkt des Lotes von ${\displaystyle F_{1}}$  auf die Asymptote (siehe Bild). Die Leitlinie ${\displaystyle d_{1}}$  ist schließlich das Lot von ${\displaystyle E_{1}}$  auf die große Achse.

 

Die Definition einer Hyperbel mit Hilfe eines Leitkreises (s. o.) bietet eine einfache Möglichkeit, mit Hilfe eines Fadens und eines Lineals einen Hyperbelbogen zu zeichnen:

(0) Wahl der Brennpunkte ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$  und des Abstandes ${\displaystyle 2a}$  der Scheitel; der Radius des Leitkreises ist auch ${\displaystyle 2a}$ 
(1) Das Lineal wird mit einem Ende im linken Brennpunkt drehbar befestigt und der Punkt ${\displaystyle B}$  im Abstand ${\displaystyle 2a}$  an der Kante markiert
(2) Faden (blau) der Länge ${\displaystyle |AB|}$ 
(3) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt ${\displaystyle A}$  des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ 
(4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante ${\displaystyle AB}$  anliegt
(5) Durch Drehen des Lineals um den Punkt ${\displaystyle F_{2}}$  überstreicht der Stift einen Hyperbelbogen, denn es ist ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$  (Leitkreiseigenschaft).

 

 

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Hyperbel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$  (alle Geraden durch den Punkt ${\displaystyle S_{1}}$  bzw. ${\displaystyle S_{2}}$ ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$  des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$  gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$  aus. Seien nun ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$  ein Punkt der Hyperbel und ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ . Wir unterteilen die Rechteckseite ${\displaystyle {\overline {BP}}}$  in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen ${\displaystyle AB}$  auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AP}}}$  (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in ${\displaystyle S_{1}}$  und ${\displaystyle S_{2}}$ . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$  und ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$  liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Hyperbel.

Bemerkung: Die Unterteilungen lassen sich jenseits der Punkte ${\displaystyle A}$  bzw. ${\displaystyle B}$  fortsetzen, um weitere Punkte zu konstruieren. Da aber dann schleifende Schnitte und eine sehr ungleiche Punkteverteilung auftreten, ist es besser, die Konstruktion der obigen Punkte symmetrisch auf die anderen Hyperbelteile zu übertragen (s. Animation).

Bemerkung:

1. Auch für Ellipsen und Parabeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Im Parabelfall lässt sich die Behauptung leicht nachrechnen.
2. Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf.

 

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$  definiert.

Parameterdarstellung

Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ , wobei ${\displaystyle A}$  eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$  ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  die Spaltenvektoren der Matrix ${\displaystyle A}$ , so wird die Einheitshyperbel ${\displaystyle (\pm \cosh t,\sinh t),t\in \mathbb {R} ,}$  auf die Hyperbel

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t}$ 

abgebildet. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$  ist der Mittelpunkt, ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$  ein Punkt der Hyperbel und ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$  Tangentenvektor in diesem Punkt. ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  stehen i. a. nicht senkrecht aufeinander. D. h. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$  sind i. A. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$  sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Scheitel, Scheitelform

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t}$ 

ist, ergibt sich der Parameter ${\displaystyle t_{0}}$  eines Scheitels aus der Gleichung

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t)\cdot ({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t)=0}$ 

und damit aus

${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$ 

zu

${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})^{2}}{({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})^{2}}}.}$ 

Es wurden die Formeln ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x,\ 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x,\ \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$  benutzt.

Falls ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0}$  ist, ist ${\displaystyle t_{0}=0}$  und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die zwei Scheitel der Hyperbel sind ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}).}$ 

Aus

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {p}}(t-t_{0}+t_{0})={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh((t-t_{0})+t_{0})+{\vec {f}}_{2}\sinh((t-t_{0})+t_{0})}$ 

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0})\cosh(t-t_{0})+({\vec {f}}_{1}\sinh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\cosh t_{0})\sinh(t-t_{0})}$ 

Beispiele

 

 

1. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}}$  liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1:\quad {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}a\cosh t\\b\sinh t\end{pmatrix}}}$ 
2. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\cos \varphi \\a\sin \varphi \end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-b\sin \varphi \\b\cos \varphi \end{pmatrix}}}$  liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$  durch Drehung um den Winkel ${\displaystyle \varphi }$  und anschließende Verschiebung um ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$  hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$  sind die Scheitel der Hyperbel.
3. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}}$  liefert die Hyperbel mit der Gleichung ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}.}$  Beim Nachweis von ${\displaystyle xy=1}$  verwende man ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$ 
4. Bildet man die Hyperbel ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$  mit affinen Abbildungen der Form ${\displaystyle (x,y)\to (x+x_{0},ay+y_{0}),a\neq 0}$  ab, so erhält man die Schar ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-x_{0}}}+y_{0}}$  aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$  Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
5. Die Parameterdarstellung

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)=\pm {\begin{pmatrix}30\\0\end{pmatrix}}\cosh t+{\begin{pmatrix}-30\\3{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\sinh t}$  einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus ${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})^{2}}{({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})^{2}}}}$  zu ${\displaystyle t_{0}=\ln 3.}$ 
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)=\pm {\begin{pmatrix}\ 10\\4{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\cosh(t-\ln 3)+{\begin{pmatrix}-10\\5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\sinh(t-\ln 3)}$ 
Die Scheitel sind ${\displaystyle (10,4{\sqrt {5}}),(-10,-4{\sqrt {5}})}$  und
die Halbachsen ${\displaystyle a=6{\sqrt {5}},\ b=15.}$ 

implizite Darstellung

Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach ${\displaystyle \;\cosh t,\;\sinh t\;}$  auf und verwendet ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$ , erhält man die implizite Darstellung

${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0}$ .

Hyperbel im Raum

Sind die Vektoren ${\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  aus dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Da die Einheitshyperbel ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$  zur Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  äquivalent ist (s. o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  auffassen:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ t\neq 0}$ 

${\displaystyle M={\vec {f}}_{0}}$  ist der Mittelpunkt der Hyperbel, ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  zeigen in Richtung der Asymptoten und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$  ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$ 

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d. h., es ist

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}})\cdot ({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}})={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0.}$ 

Also ist der Scheitelparameter

${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$ 

Für ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|}$  ist ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$  und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$  sind die Scheitel der Hyperbel.

Tangentenkonstruktion

 

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von ${\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}$  so geschrieben werden:

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}})}$ 

D. h., in dem Parallelogramm ${\displaystyle M={\vec {f}}_{0},A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,B={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},P={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$  ist die Diagonale ${\displaystyle AB}$  parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt ${\displaystyle P}$  (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit, die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Punktkonstruktion

 

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$  (der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind ${\displaystyle P_{1}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$  zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

${\displaystyle A={\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ B={\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$ 

auf einer Geraden durch den Mittelpunkt (s. Bild). Der einfache Beweis ergibt sich aus ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {b}}}$ .

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Tangenten-Asymptoten-Dreieck

 

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  die gleiche Länge haben. Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. o.). Dies hat zur Folge, dass ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$  die Scheitel und ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$  die Nebenscheitel sind. Also ist ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$  und ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$ .

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$  mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$ 

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\displaystyle M,C,D}$  lässt sich mit Hilfe einer 2×2-Determinante ausdrücken:

${\displaystyle F={\tfrac {1}{2}}|\det(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2})|=2|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|}$ 

S. Rechenregeln für Determinanten. ${\displaystyle |\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|}$  ist der Flächeninhalt der von ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$  aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen ${\displaystyle a,b}$ . Also gilt:

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\displaystyle M,C,D}$  ist unabhängig vom Hyperbelpunkt ${\displaystyle F=ab.}$ 

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  auf eine andere Hyperbel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  als Ganzes invariant:

• ${\displaystyle (x,y)\mapsto (ax,\textstyle {\frac {y}{a}}),\ a\neq 0}$ 
• ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\textstyle {\frac {y}{m}},mx),\ m\neq 0}$ 

Spezialfälle:

1. Für ${\displaystyle a=1}$  bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
2. Für ${\displaystyle a\neq 1}$  wird jeder Punkt der Hyperbel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Hyperbel.
3. Für ${\displaystyle a=-1}$  ist die Abbildung die Punktspiegelung am Nullpunkt.
4. Für ${\displaystyle m=1}$  ist die Abbildung die „normale“ Spiegelung an der Geraden ${\displaystyle y=x}$ .
5. Für ${\displaystyle m\neq 1}$  ist die Abbildung die Schrägspiegelung an der Gerade ${\displaystyle y=mx}$  in Richtung der Geraden ${\displaystyle y=-mx}$ . (Siehe Abschnitt Mittelpunkte paralleler Sehnen.)

 

 

Für jede Hyperbel gilt:

• Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

D. h., zu jedem Punktepaar ${\displaystyle P,Q}$  einer Sehne ${\displaystyle s}$  gibt es eine Schrägspiegelung an einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte ${\displaystyle P,Q}$  vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Geraden ${\displaystyle m}$ , bei der alle Strecken Punkt–Bildpunkt zwar zueinander parallel, aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse ${\displaystyle m}$  sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel ${\displaystyle y=1/x}$  sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung: Die Punkte der Sehne ${\displaystyle s}$  dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$  einer Hyperbelsehne ${\displaystyle PQ}$  halbiert auch die zugehörige Strecke ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$  zwischen den Asymptoten, d. h., es gilt ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$ . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt ${\displaystyle P}$  beliebig viele weitere Hyperbelpunkte ${\displaystyle Q}$  zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke ${\displaystyle P{\overline {P}}}$  zur Konstruktion von ${\displaystyle Q}$  verwendet.

Entartet die Sehne ${\displaystyle PQ}$  zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

 

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$  beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$  ist ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$  Lässt man in dieser Gleichung zu, dass ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$  ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird dem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$  die Gerade ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$  zugeordnet. Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.