Ipérbol

L'equassion cartesian-a

Fissoma un sistema ëd coordinà cartesian-e con l'ass dj'assisse an sla reta pr'ij feu e orìgin pont mesan antra ij doi feu. Donca ij feu a resto dij pont ëd coordinà F(c,0),F'(-c,0). As sërca ël leu dij pont P pr'ij quaj

d(P,F)-d(P,F')=2a,

visadì

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a}$.

An isoland un radical,

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$.

Alvand al quadrà i otnoma

${\displaystyle x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$.

An semplificand e an isoland ël radical restaje,

${\displaystyle -cx-a^{2}=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$.

As peul torna alvesse al quadrà e semplifiché. A resta

${\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})}$.

Dagià che d(F,F')>d(P,F)-d(P,F'), visadì c>a, i podoma scrive ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$. L'equassion a dventa antlora

${\displaystyle b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}$.

An dividend për ${\displaystyle a^{2}b^{2}}$ i otnoma la forma normal ëd l'ipérbol

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

L'ipérbol a toca nen l'ass dj'ordinà e a ancreusia col dj'assisse ant ij pont ëd coordinà ${\displaystyle (0,\pm a)}$.