Eliss

L'equassion cartesian-a

Pijoma n'arferiment ortogonal con ass dj'assisse la reta pr'ij feu e orìgin pont mesan dël segment determinà dai feu. Parèj ij feu a arzulto avèj coordinà F(c,0) e F'(-c,0). Ciamà P(x,y) ël pont genérich an sl'eliss, për la definission i l'oma che

d(P,F)+d(P,F')=2a.

Dagià che

${\displaystyle d(P,F)={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}},d(P,F')={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$,

a na ven l'equassion

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a}$.

Për eliminé ij radicaj, as peul ancaminesse a isolene un:

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$

për peui elevé al quadrà:

${\displaystyle x^{2}+c^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}+x^{2}+c^{2}+2cx+y^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$.

An semplificand i otnoma

${\displaystyle a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}+cx}$.

Sòn a përmet ëd quadré n'àutra vira e oten-e

${\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})}$.

Dagià che

d(F,F')

i podoma buté mach ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ e rivé a l'equassion

${\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}$.

An dividend ancor për ${\displaystyle a^{2}b^{2}}$ as oten l'equassion normal ëd l'eliss:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

As peul noté donca che la curva a l'é simétrica rëspet a j'ass e a l'orìgin. Peui, a resta contnùa ant ël retàngol

${\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b}$.

Le doe cobie ëd segment ëd longheur a e b determinà da j'antërsession ëd l'eliss con j'ass cartesian a son dit ij semiass ëd l'eliss; ij doi segment ëd longheur 2a e 2b a son j'ass ëd l'eliss. L'orìgin O a l'é ël sènter.
Ij feu a resto an sl'ass magior; la distansa c da mincadun dij feu al sènter a l'é dita distansa focal.

Si un a buta a=b ant l'equassion ëd l'eliss a treuva l'equassion ëd la sirconferensa

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$.

Ecentrissità e equassion polar

L'ecentrissità a mzura la forma, pì o meno slongà, ëd n'eliss. A l'é definìa tanme ël rapòrt antra la distansa focal e ël semiass magior:

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$.

A l'é sempe un nùmer pì cit che 1. Antlora l'equassion dl'eliss an coordinà polar a ven a avèj la forma

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

anté che l'orìgin a l'é fissà ant un dij feu.