En geometria, un polígon és una figura plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials (línia poligonal).
Cadascun d'aquests segments és un costat, i cada un dels punts on s'uneixen dos costats és un vèrtex. Sovint, el terme polígon també s'utilitza per descriure l'àrea compresa dins de la figura, o la unió de la figura i l'àrea. Un n-gon és un polígon de n costats, i un polígon amb tots els angles i costats iguals s'anomena polígon regular. Un polígon és un exemple bidimensional del concepte de polítop, el qual abraça qualsevol nombre de dimensions.
La paraula «polígon» deriva del grec πολύς (polús, 'molts') i γωνία (gōnía, 'cantonada' o 'angle).
Els polígons han estat coneguts des de l'antiguitat. Els polígons regulars eren coneguts pels antics grecs, amb el pentacle, un polígon regular no convex (polígon estelat), que va aparèixer ja el segle VII abans de Crist en un crater d'Aristòfanes, trobat a Caere i que es troba ara als Museus Capitolins.
El primer estudi sistemàtic dels polígons no convexos en general que es coneix va ser el de Thomas Bradwardine en el segle xiv.
L'any 1952, Geoffrey Shephard va generalitzar la idea dels polígons al pla complex, on cada dimensió real va acompanyada per una d'imaginària, per crear polígons complexos.
El següent gràfic il·lustra part de la classificació taxonòmica dels polígons:
La classificació segons el nombre de costats és la que se sol usar normalment. Vegeu la secció Noms dels polígons.
Nom | Costats | Nom | Costats |
---|---|---|---|
Triangle | 3 | Hexadecàgon | 16 |
Quadrilàter | 4 | Heptadecàgon | 17 |
Pentàgon | 5 | Octadecàgon | 18 |
Hexàgon | 6 | Enneadecàgon | 19 |
Heptàgon | 7 | Icosàgon | 20 |
Octàgon | 8 | Icosihenàgon | 21 |
Enneàgon | 9 | Icositetràgon | 24 |
Decàgon | 10 | Triacontàgon | 30 |
Hendecàgon | 11 | Tetracontàgon | 40 |
Dodecàgon | 12 | Pentacontàgon | 50 |
Tridecàgon | 13 | Hectàgon | 100 |
Tetradecàgon | 14 | Quiliògon | 1.000 |
Pentadecàgon | 15 | Miriàgon | 10.000 |
Els polígons reben un nom concret segons el seu nombre de costats. Es combina un prefix numèric derivat del grec amb el sufix -gon ('costat'), com, per exemple, pentàgon (cinc costats) o dodecàgon (dotze costats). El triangle i el quadrilàter són excepcions a aquesta regla. Quan es tracta de polígons de molts costats, els matemàtics escriuen el mateix numeral, com, per exemple, 63-gon. També es pot fer servir una variable, normalment n-gon, quan es vol indicar un nombre de costats n desconegut.
Per construir el nom d'un polígon de més de 20 i menys de 100 costats, es combinen els prefixos de la següent manera:
Desenes | i | Unitats | Sufix final | ||
---|---|---|---|---|---|
-kai- | 1 | -hena- | -gon | ||
20 | icosi- | 2 | -di- | ||
30 | triaconta- | 3 | -tri- | ||
40 | tetraconta- | 4 | -tetra- | ||
50 | pentaconta- | 5 | -penta- | ||
60 | hexaconta- | 6 | -hexa- | ||
70 | heptaconta- | 7 | -hepta- | ||
80 | octaconta- | 8 | -octa- | ||
90 | enneaconta- | 9 | -ennea- |
Per exemple, una figura de 42 costats s'anomenaria de la següent manera:
Desenes | i | Unitats | Nom complet del polígon | |
---|---|---|---|---|
tetraconta- | -kai- | -di- | -gon | tetracontakaidígon |
I una figura de 50 costats:
Desenes | i | Unitats | Sufix final | Nom complet del polígon |
---|---|---|---|---|
pentaconta- | -gon | pentacontàgon |
En tota la secció s'assumeix la geometria euclidiana.
Qualsevol polígon, regular o irregular, complex o simple, té tants vèrtexs com costats. A més, cada vèrtex té diversos angles. Els angles més importants són els següents:
L'angle exterior és suplementari a l'angle d'interior.
L'àrea d'un polígon és la mesura de la regió bidimensional tancada pel polígon. Per a un polígon simple de n vèrtexs, l'àrea és expressada per:
D'altra banda, les coordenades del baricentre (o centroide o centre de masses) són:
Per tancar el polígon cal considerar el primer i darrer vèrtex com el mateix, és a dir xn, yn = x0, y0. Cal ordenar els vèrtexs d'acord amb la seva orientació positiva o negativa (en el sentit de les agulles del rellotge o en el sentit contrari, respectivament); si s'ordenen negativament, el valor donat per la fórmula de l'àrea serà negatiu però correcte en valor absolut. Se sol anomenar fórmula d'àrea de Gauss.
L'àrea d'un polígon simple també es pot calcular si es coneixen les longituds dels costats (a1, a₂, ..., an) i els angles exteriors (θ1, θ₂, ..., θn). La fórmula, descrita per Lopshits el 1963, és:
Si el polígon es pot dibuixar en una reixeta (malla) equiespaiada de tal manera que tots els seus vèrtexs siguin nodes de la reixeta, el teorema de Pick dona una fórmula simple per calcular l'àrea del polígon basant-se en el nombre de punts interiors del polígon i de sobre la frontera.
En qualsevol polígon de perímetre p i àrea A es compleix el teorema isoperimètric:
L'àrea d'un polígon regular es pot calcular en termes del seu apotema a (de vegades anomenat radi) i del seu perímetre p segons la següent fórmula:
L'àrea d'un n-gon regular de costat s inscrit en un cercle unitat és:
L'àrea d'un n-gon regular en termes del radi r del seu cercle circumscrit i el seu perímetre p és expressada per:
L'àrea d'un n-gon regular inscrit en un cercle unitat, de costat s i d'angle interior θ també es pot expressar trigonomèticament com a:
Un n-gon té 2n graus de llibertat distribuïts de la següent manera: 2 de posició, un d'orientació rotacional, un de mida general i 2n - 4 per forma. En el cas de simetria de reflexió aquest darrer es redueix a 2n - 2.
Un costat adjacent, en un polígon, és un costat que comparteix un vèrtex amb un altre costat donat, en el cas particular d'un triangle rectangle un catet és el costat adjacent de l'altre catet.
La idea d'un polígon s'ha generalitzat en diversos sentits. Alguns dels més importants inclouen:
Vegeu polígon en el Viccionari, el diccionari lliure. |
A Wiki Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Polígon |
This article uses material from the Wikipedia Català article Polígon, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). El contingut està disponible sota la llicència CC BY-SA 4.0 si no s'indica el contrari. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Català (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.