عدد ميرسين الأولي

يبقى عدد من المسائل المتعلقة بأعداد ميرسن الأولية غير محلحلا بعد. لا يُعلم هل عدد أعداد ميرسن الأولية منته أم غير منته. حدسية لينسترا-بوميرانس-فاغشتاف تنص على أن هناك عددا غير منته من أعداد ميرسن الأولية كما تتنبأ بوتيرة نُموهن. أيضا، لا يُعلم عدد الحالات حيث يكون الأس أوليا وعدد ميرسن ذاته غير أولي.انظر إلى عدد صوفي جيرمين الأولي.

ليس هناك اختبار بسيط يمكن من الجزم أن عددا ما لميرسين أولي أو غير أولي. هذا يجعل من البحث عن أعداد ميرسن الأولية أمرا صعبا وخصوصا أن أعداد ميرسن تنمو بشكل سريع جدا. اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما هو طريقة فعالة تساعد على اختبار أولية أعداد ميرسن.

عندما يُراد القيام بحسابياتٍ بتردد عدد أولي، تصير أعداد ميرسن الأولية اختيارا رائعا وفعالا خصوصا عند استعمال الحاسوب وتمثيله الثنائي للأعداد. انظر على سبيل المثال إلى مولد ليهمر للأعداد العشوائية.

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة ${\displaystyle 2^{n}-1}$  يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 = ${\displaystyle 2^{11}-1}$  ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين ${\displaystyle 2^{17}-1}$  و ${\displaystyle 2^{19}-1}$  أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$  يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$  يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n <257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n <257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ${\displaystyle 2^{31}-1}$  ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد ${\displaystyle 2^{127}-1}$  أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد ${\displaystyle 2^{61}-1}$  أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين ${\displaystyle 2^{89}-1}$  و ${\displaystyle 2^{107}-1}$  و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

اللائحة أسفله تحتوي على أعداد ميرسن الأولية المعروفة وعددهن واحد وخمسون :

All Mersenne numbers below the 51st Mersenne prime (M_82,589,933) have been tested at least once but some have not been double-checked. Primes are not always discovered in increasing order. For example, the 29th Mersenne prime was discovered after the 30th and the 31st. Similarly, M_43,112,609 was followed by two smaller Mersenne primes, first 2 weeks later and then 9 months later. M_43,112,609 was the first discovered prime number with more than 10 million decimal digits.

أكبر عدد أولي لميرسن معروفٍ (2^82,589,933 − 1) هو أيضا أكبر عدد أولي معروف.

منذ 1952، كانت أعداد ميرسن الأولية هن أكبر عدد أولي معروف، باستثناء بين عام 1989 و 1992.

تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان M_p عددا أوليا لميرسن، فإن

${\displaystyle 2^{p-1}\cdot (2^{p}-1)=M_{p}(M_{p}+1)/2\ }$ 

هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل (${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1}$  حيث ${\displaystyle (2^{k}-1)}$  هو عدد أولي. في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هذه المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

في معضلة برج هانوي الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل M_p خطوة.

• عدد فيرما
• أكبر عدد أولي معروف
• حدسيات ميرسين
• عدد ميرسين المزدوج